Théorie des ensembles et intersection

Question

Par exemple, si nous avons des chiffres $x,y,z,$ de $x=y-z,$ nous pouvons déduire $y=x+z.$

Existe-t-il une manière aussi simple de regarder les décors?

Supposons que pour certains ensembles $A,B,C$ si nous avons $A=B \cap C$ comment pouvons-nous penser $B$ en terme de $A$ et $C?$

Answer 1

Vous voyez, être «analogue» en mathématiques signifie en gros la généralisation de l'objet spécifique de l'étude. Par exemple, les nombres réels peuvent être «analogues» aux opérateurs hermitiens et l'adjoint d'un opérateur peut être «analogue» à la conjugaison des nombres complexes. Dans votre question, les nombres ne sont pas généralisés par ensembles. Par conséquent, le travail «de calcul» sur les ensembles se compose de différentes règles. Il y a un tas de règles d'ensemble introduites au début de tout livre de théorie des ensembles. Vous devriez vous y référer et le travailler en conséquence.

Answer 2

Je suis d'accord avec le commentaire de Chrystomath, il n'y a pas grand chose à dire. Le mieux que nous puissions faire est de dire que$B \subseteq A \cup C^{c}$ (où $C^c$ est l'ensemble complémentaire de $C$).

Bien que j'ai trouvé la formulation suivante pour $B,$ mais pas seulement en termes de $A$ et $C.$ Je devais ajouter aussi $B$ car plusieurs ensembles peuvent contenir la condition indiquée ci-dessus.

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Laisser $A, B,$ et $C$ être des ensembles, tels que $A = B \cap C.$ ensuite $B = A \cup (B \setminus C).$

Preuve: supposons que$A = B \cap C.$ Laisser $x \in B.$ Nous avons cela non plus $x \in C,$ ou $x \notin C.$ Dans le cas précédent, $x \in B \cap C,$ donc $x \in A.$ Il s'ensuit que $x \in A \cup (B \setminus C).$ Dans le dernier cas, $x \in B \setminus C,$ donc $x \in A \cup (B \setminus C).$ Donc $B \subseteq A \cup (B \setminus C).$ Maintenant, laisse $y \in A \cup (B \setminus C).$ ensuite $y \in A,$ ou $y \in B \setminus C.$ Dans le cas précédent, $y \in B \cap C,$ donc $y \in B$ et $y \in C,$ et en particulier, $y \in B.$ Dans le dernier cas, $y \in B \setminus C,$ puis $y \in B$ et $y \notin C.$ En particulier $y \in B.$ Donc $A \cup (B \setminus C) \subseteq B.$ Puisque $B \subseteq A \cup (B \setminus C) \subseteq B,$ on en déduit que $B = A \cup (B \setminus C).$ $\square$