Transformée stricte d'une courbe tangente sous explosion

Question

$\DeclareMathOperator{\Bl}{\operatorname{Bl}}$On sait que si nous avons une variété projective $X$ et une sous-variété projective lisse $Y$ puis le diviseur exceptionnel $E \subset \Bl_{Y}X$ de l'explosion de $X$ le long de $Y$ est la projectivisation du faisceau normal $N_{Y|X}$. En particulier des points dans$E$ paramètre les lignes (directions) normales à $Y$.

Ma question est maintenant la suivante: supposons pour simplifier que $X= \mathbb{P}^3$ et $Y=\ell$est une ligne. Si nous avons un point$p \in \ell$ et une courbe douce $C \subset \mathbb{P}^3$ tel que $\mathbb{T}_pC=\ell$, puis si $$\nu:\Bl_{\ell}\mathbb{P}^3 \rightarrow \mathbb{P}^3$$ quelle est l'intersection $\widetilde{C} \cap E$, où $\widetilde{C}$ est la transformation stricte de $C$ en dessous de $\nu$?

En général, si j'ai une courbe tangente au lieu que je fais exploser, où va sa "direction" si le lieu exceptionnel ne paramétre que les directions normales?

Merci d'avance.

Answer 1

Si $C \subset X$ est une courbe douce et $p \in C$il y a un plan unique (soi-disant plan osculateur )$$ T^2_pC \subset T_pX $$ dans l'espace tangent $T_pX$ à $X$ à $p$ tel que $C$ tout élément de $T_p^\vee X = \mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}^2_p$ disparaître sur $T^2_pC$ disparaît à la commande 2 le $C$ à $p$. Bien sûr, il contient la ligne tangente$T_pC$. Donc si$T_pC = \ell$ alors ce plan définit une direction normale à $\ell$ à $p$; le point correspondant de$E$ est le point d'intersection de $\tilde{C}$ avec $E$.