Transversale d'une relation d'équivalence

Question

Définir une relation sur $\mathbb{R}^2$ par $(a, b)\sim(c, d)$ si et seulement si $(c-a, d- b) \in \mathbb{Z}^{2}$. Prouve-le$\sim$est une relation d'équivalence. Identifier$\mathbb{R}^2$ avec le plan de la manière habituelle, décrivez la transversale la plus naturelle pour $\sim$, que vous pouvez trouver. Qu'est-ce que cette question a à voir, le cas échéant, avec les beignets?

J'ai déjà prouvé la relation d'équivalence et connais la solution de la deuxième partie depuis qu'elle est fournie, mais j'ai des problèmes pour la comprendre. Je suppose que cela pose des questions sur les classes d'équivalence?

Solution:

Un transversal naturel est $I \times I$ où $I = \{r | r \in \mathbb{R}, 0 \leq r < 1\}$. Rejoignez le haut et le bas de$I$pour former un tube, et pliez le tube pour rejoindre également les deux cercles. Vous avez la surface d'un beignet (un tore en langage mathématique).

Answer 1

Je m'attends à ce qu'une relation d'équivalence transversale soit un ensemble qui coupe chaque classe d'équivalence en exactement un point. L'ensemble$I\times I$ est un transversal pour la relation $\sim$.

Quand on ajoute à un carré semi-ouvert $I\times I$ en haut et à droite, on obtient un carré unitaire fermé $Q$. Mais chaque point$(x,1)$ en haut de $Q$ équivaut à un point $(x,0)$ en bas de $Q$. Donc, construire un modèle de l'espace quotient$\Bbb R^2/\sim$, points de chaque paire $\{(x,1), (x,0)\}$doivent être collés ensemble. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons un tube. Les paires de points opposés aux cercles délimitant le tube correspondent à des paires$\{(0,x), (1,x)\}$ des points opposés des côtés gauche et droit du carré $Q$, qui sont équivalents, et doivent donc également être collés ensemble. Cette construction en deux étapes nous fournit un tore , comme indiqué dans la solution proposée.

Voir aussi Wikipedia :

Le tore peut également être décrit comme un quotient du plan cartésien sous les identifications $$(x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),$$ ou, de manière équivalente, comme le quotient du carré unitaire en collant les bords opposés ensemble.