Triangle supérieur à (probabilité)

Question

Celui-ci fait suite à ma question précédente. Mais un problème différent. Et celui-ci devrait avoir une réponse plus intéressante. Je ne sais pas vraiment comment aborder ce problème mais trouver une solution, donc encore une fois, l'aide est appréciée.

Question:

Vous avez un cercle avec un rayon $R$. Si trois points sont choisis au hasard à l' intérieur de ce cercle. Quelle est la probabilité que les trois points forment un triangle avec une aire supérieure à$\displaystyle \frac{R^2}{5}$?

Edit: Est-ce que quelqu'un essaie ou a peut-être trouvé une approche qui pourrait fonctionner? Y a-t-il des problèmes similaires que vous avez déjà rencontrés et qui pourraient servir de guide pour résoudre celui-ci? Selon vous, quelles sont les difficultés? Je n'ai littéralement aucune idée de par où commencer.

Answer 1

Ce n'est pas une réponse, mais juste une simulation. J'obtiens la valeur approximative

$$P(A\geq \frac{1}{5}) \approx 0.45$$

Voici mon code Sage si quelqu'un veut le vérifier. Cela correspond à la valeur moyenne de mathworld

def randPt():
    r = random()**0.5 #sqrt to make it uniform
    a = random()*2*float(pi)
    return (r*cos(a), r*sin(a))

def simuTriArea():
    a,b,c = [randPt() for _ in range(3)]
    return 0.5*abs(a[0]*b[1] + b[0]*c[1] + c[0]*a[1] - b[0]*a[1] - c[0]*b[1] - a[0]*c[1])

#points([randPt() for _ in range(1000)]).show(aspect_ratio=1)
simuN = 100000
triAreas = [simuTriArea() for _ in range(simuN)]
print ("simulated P(A>0.2): %f" % (sum(1 for a in triAreas if a>0.2) / float(simuN),) )
print ("mean A: %f" %mean(triAreas))
graph = Graphics()
graph += histogram(triAreas, density=True, bins=50)
maxArea = float(3*3**0.5 / 4)
#graph += plot(???, xmin=0, xmax=maxArea)
graph.show()