Trouver lim sup

Question

Je suis incapable de trouver un moyen de résoudre ce problème. J'ai essayé d'utiliser la définition de lim sup mais je n'ai nulle part.

Considérez la série: $\sum^\infty_{n=1} a_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\cdots$

ensuite $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=$

Edit: C'est le travail que j'ai fait hier soir. Mes excuses pour ne pas avoir montré mon travail.

J'ai regardé la séquence $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. J'ai observé que ça ressemble à$\frac{2}{3}, \frac{3}{2^2}, \frac{2^2}{3^2},\frac{3^2}{2^3},\cdots$.

Ainsi, les termes généraux ressemblent à $(\frac{2}{3})^n$ pour $n$ étrange et $\frac{1}{2}(\frac{3}{2})^n$ pour $n$ même.

J'ai regardé les supremums des séquences de queue puis j'ai décidé de trouver leur infimum. La séquence que j'ai trouvée a$\infty$ comme le suprême de chaque séquence de queue puisque la séquence pour $n$même augmente de façon monotone. Ainsi j'ai déduit que le limsup devrait être$\infty$. Cependant, la réponse a été donnée à$\frac{1}{2}$.

Cette séquence que j'ai trouvée est bien sûr une erreur car les exposants que j'ai pris sont faux.

La séquence ressemble en fait à $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cases{(\frac{2}{3})^{\frac{n+1}{2}}& n is odd\\ \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^\frac{n}{2}& n is even}$

Mais encore, la séquence de supremum des queues se compose uniquement de $\infty$ et donc l'infimum des supremums est $\infty$. Qu'est-ce que je rate?

Answer 1

Votre argument est parfaitement correct et le "bandit" dans celui-ci est l'auteur du problème pour ne pas savoir comment $a_{n}$doit être exprimé. Quelque chose que j'ai trouvé vrai pour certains auteurs est que; en cas de doute, un manuel de mathématiques est toujours écrit en «trois».

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Si au lieu de traiter $a_{n}$ être une séquence de puissances réciproques alternées de $2$ et $3$, Nous prenons $a_{n}$ être une séquence de puissances égales, comme dans $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}$, nous obtenons alors une description alternative (et rétrospectivement vraie) de la série en question. Par la séquence de calculs suivante, nous atteignons$\lim \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$:

D'abord en réécrivant $a_{n}$ sur un dénominateur commun, nous obtenons $a_{n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}$ et donc

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^{n}+3^{n})}.$$

Diviser le numérateur et le dénominateur par $3^{n+1}$ nous arrivons à $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}.$$ Maintenant depuis $$(\frac{2}{3})^{n},(\frac{2}{3})^{n+1}\to 0 \ \text{as} \ n \to \infty$$ on a ça $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim \frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}=\frac{1}{2}.$$ Car $\lim \sup x_{n} = \lim x_{n}$ pour une séquence $x_{n}$ qui converge, on peut en déduire que $$\lim_{n\to\infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$$.