Trouvez les angles du triangle $NPQ$.

Question

$ABC$ est un triangle. $ACM$ et $BCN$ sont des triangles équilatéraux où $M$ et $N$ sont à l'extérieur du triangle. $P$ est le centre de $ACM$. $Q$est le milieu de AB. Trouvez ensuite les angles du triangle$NPQ$.

J'ai besoin de la solution utilisant l'homothétie. J'ai déjà résolu le problème, mais je n'ai pas réussi à trouver la solution avec l'homothétie.

Ma solution: (en bref) Prenons le point$R$ à $PQ$ ligne où $PQ=QR$. Triangles$APQ$ et $BQR$sont congruents. Notez également que les triangles NCP et$NQR$sont congruents. Maintenant, il n'est pas difficile de voir que NPR est un triangle équilatéral. La réponse est donc$30°,60°,90°$.

Answer 1

Laisser $D$ être un milieu de $BC$. Depuis$$\angle PCN = \angle QDN = 90+\gamma$$ et $${PC \over QD} = {CN\over DN} = {2\over \sqrt{3}}$$ on voit ça $\triangle PCN\sim \triangle QDN$, donc la similitude en spirale à $N$ prend $\triangle PCN$ à $\triangle QDN$. Mais cette similitude en spirale induit une nouvelle similitude en spirale qui a également$N$ et prend $\triangle CDN$ à $\triangle PQN$ donc ils ont les mêmes angles.