$u_t+uu_x+cu=0$ avec condition initiale

Question

J'essaye de résoudre $u_t+uu_x=-cu$ avec $u(x,0)=u_0(x)$

En utilisant la méthode des caractéristiques que nous obtenons $\frac{dt}{ds}=1$ ou $t=s$ également, $\frac{dx}{ds}=u$ et $\frac{du}{ds}=-cu$. Les dernières équations impliquent que$u=u_0(x)e^{ct}$ donc le second implique
$\frac{dx}{ds}=u=u_0(x)e^{ct}$ Comment terminer cela?

Je suis tombé sur ce lien mais je ne comprends pas la solution acceptée après la partie où la personne dit laisser$x(0)=f(u_0)$ et tout après ça.

De $u(x,0)=u_0(x)$ n'est pas $x(0)$ juste $x$ ou $s$ ou est-ce que je fais quelque chose de mal?

Quoi qu'il en soit, comment pourrais-je terminer la solution?

Answer 1

$$u_t+u\:u_x=-cu\tag 1$$ $$ds=\frac{dt}{1}=\frac{dx}{u}=\frac{du}{-c}$$ Une première équation caractéristique vient de la résolution $\frac{dt}{1}=\frac{du}{-c}$ : $$u\,e^{ct}=c_1$$ Une deuxième équation caractéristique provient de $\frac{dx}{u}=\frac{du}{-c}$: $$u+c\,x=c_2$$ La solution générale de l'EDP exprimée sous forme d'équation implicite $c_2=F(c_1)$ avec fonction arbitraire $F$ est : $$\boxed{u+c\,x=F\left(u\,e^{ct}\right)}\tag 2$$ ÉTAT :

$u(x,0)=u_0(x)$ avec fonction connue (donnée) $u_0(x)$ . $$u_0(x)+c\,x=F\left(u_0(x)\right)$$ Considérons la fonction inverse de $X=u_0(x)$ dire $x(X)=u_0^{(-1)}(X)$

L'exposant $(-1)$ désigne la fonction inverse, pas une puissance $-1$. Veillez à ne pas confondre.$$X+c\,u_0^{(-1)}(X)=F\left(X\right)$$ Depuis $u_0(x)$ est une fonction connue on peut considérer que la fonction inverse $u_0^{(-1)}(X)$est connu en général. Ainsi la fonction$F(X)$ est connu maintenant: $$F\left(X\right)=X+c\,u_0^{(-1)}(X)$$

Nous le mettons dans la solution générale ci-dessus $(2)$ où $X=u\,e^{ct}$ : $$\boxed{u+cx=u\,e^{ct}+c\,u_0^{(-1)}\left(u\,e^{ct}\right)}\tag 3$$ Dans cette équation implicite, $u(x,t)$ est la solution particulière du PDE qui est conforme à la condition spécifiée.

Lorsque cela est possible, résoudre l'équation implicite pour $u$donnerait la solution sous forme explicite. Bien sûr, cela n'est pas possible si$u_0(x)$n'est pas donné explicitement. Mais même si$u_0(x)$est explicitement donnée, ce n'est pas toujours possible avec les fonctions standard. Dans ces cas, on considère la solution implicite$(3)$ comme solution finale du problème.