Une estimation d'une somme par $\ell_p$-norme

Question

Il y a quelques jours, mon professeur m'a donné un devoir. Après avoir gaspillé une vingtaine de feuilles de papier, j'ai essentiellement réduit la tâche à la suivante

Question . Étant donné un réel$p\ge 1$, s'il existe $C=C(p)>0$ tel que pour chaque naturel $n$, chaque nombre non négatif $x_1,\dots, x_n$, et $y=2^{-1/p}$, nous avons $$\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=i}^n x_jy^{j-i}\right)^p\le C \sum_{i=1}^n x_i^p.$$

Une formulation équivalente est

Question » . Étant donné un réel$p\ge 1$, si un opérateur linéaire $$(x_i)_{i=1}^\infty\to \left(\sum_{j=i}^\infty x_iy^{j-i}\right)_{i=1}^\infty,$$

est une carte continue de $\ell_p$ à $\ell_p$ (où $(\ell_p,\|\cdot\|_p)$ c'est l'espace normé de toutes les séquences à valeur réelle $x=(x_i)_{i=1}^\infty$ tel que $\|x\|^p=\sum_{i=1}^\infty |x_i|^p<\infty$)?

Merci.

Mon essai. Il semble que quand$p$ équivaut à $1$, $2$, ou $3$ alors nous pouvons obtenir une réponse affirmative, en élargissant le côté gauche (quand $p=1$ c'est particulièrement facile) et ensuite estimer les produits de $p$ distinct $x_i$par la somme de leurs $p$e pouvoirs. Mais il y a un abîme entre ces cas particuliers et la réponse générale.

J'espère pouvoir répondre à la question après quelques travaux. Mais cela peut être une invention de bicyclette, car ce résultat peut être connu (mais difficile à trouver). De plus, ça a l'air sympa, alors je décide de partager la question avec la communauté. Peut-être qu'il a une bonne solution basée sur une inégalité connue (mais pas par moi). Remarquez que l'application directe de l'inégalité de Hölder au côté gauche fournit une borne trop faible.

Motivation . Si l'inégalité ne tient pas pour certains$p\ge 2$ alors nous nous attendons à appliquer une construction d'une série inconditionnellement convergente de [VK] pour montrer que pour chaque ensemble infini $X$, une bague Banach $\ell_p(X)$n'a pas de propriété requise dans cette question dch '.

Références

[VK] N. Vakhania, V. Kvaratskhelia, Sur la convergence inconditionnelle des séries dans les espaces de Banach à base inconditionnelle , Bull. Georgian Acad. Sci. 3 : 1 (2009) 20–23.

Answer 1

Laisser $i\in\{1,\dots,n\}$ être fixé et $c_i:= \sum_{j=i}^n2^{-j/p}$ et $\alpha_j=2^{-j/p}/c_i$. ensuite$$ \left(\sum_{j=i}^n x_j2^{(i-j)/p} \right)^p=2^i\left(\sum_{j=i}^n x_j\alpha_j c_i \right)^p=2^ic_i^p\left(\sum_{j=i}^n x_j\alpha_j \right)^p $$ et depuis $\sum_{j=i}^n\alpha_j=1$, L'inégalité de Jensen donne $$ \left(\sum_{j=i}^n x_j2^{(i-j)/p} \right)^p\leqslant 2^ic_i^p\sum_{j=i}^n x_j^p\alpha_j $$ et il s'ensuit que $$ \sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=i}^n x_j2^{(i-j)/p} \right)^p\leqslant \sum_{i=1}^n2^ic_i^{p-1}\sum_{j=i}^n x_j^p2^{-j/p}. $$ Bounding $c_i$ par $\kappa_p 2^{-i/p}$ et changer les sommes en $i$ et $j$ donne le résultat souhaité.