Une identité laplacienne d'Evans

Question

Dans le théorème 1 (Résolution de l'équation de Poisson) à la page 24 des équations différentielles partielles (2e) d'Evans comparant les équations (11) et (13), il semble y avoir l'égalité de

$$ \int_{\mathbb{R}^n \setminus B(0,\epsilon)} \Phi(y)\Delta_x f(x-y) \,dy = \int_{\mathbb{R}^n \setminus B(0,\epsilon)} \Phi(y)\Delta_y f(x-y) \,dy.$$

Pour le contexte: $\Phi$ est la solution fondamentale de l'équation de Laplace, $-\Delta u = f$ dans $\mathbb{R}^n$, et $B(0,\epsilon)$ est la boule de rayon $\epsilon$ centré sur zéro.

D'où vient l'égalité avec les Laplaciens? C'est pourquoi

$$ \Delta_xf(x-y) = \Delta_yf(x-y) $$

tenir?

J'ai vu cela dans une autre référence (page 149 de Partial Differential Equations in Action (3e) - Salsa). Est-ce une propriété générale de la convolution ou est-ce quelque chose de plus subtil? En termes de niveau de compréhension, des explications sans s'appuyer sur la théorie des mesures seraient préférées.

Answer 1

Faites simplement le calcul. Par exemple, en 1 dimension, nous avons cela$\Delta_x = \partial_{xx}$. En utilisant la règle de la chaîne, nous voyons que$$\Delta_x f(x-y) = \partial_x (1\cdot f'(x-y))= (1)^2 \cdot f''(x-y) = f''(x-y)$$ d'un autre côté nous avons $$\Delta_y f(x-y) = \partial_y ((-1)\cdot f'(x-y))= (-1)^2 \cdot f''(x-y) = f''(x-y).$$ L'analogique est vrai pour $n$-dimensions.

Pour résumer: pour $\partial_y$ nous obtenons un signe moins supplémentaire de la règle de la chaîne mais comme nous le prenons deux fois dans le laplacien, ils s'annulent.