Une limite avec un arctan

Question

J'ai besoin de calculer une autre limite, $$ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^{\sin\left(2/x\right)}$$

Je ne sais pas comment commencer ni quoi faire car je n'ai jamais eu affaire à un arctan dans une limite auparavant.

Que dois-je faire en premier?

Answer 1

$\lim_{x \to \pi/2} \tan x = \infty$, donc $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, comme $\tan x$ et $\arctan x$ sont des fonctions inverses l'une de l'autre pour $x \in [0, \pi/2)$.

Le reste n'est qu'une substitution directe. Tu devrais obtenir:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\sin(0)} = \lim_{x \to \infty} 1^0 = \boxed{1}.$$

Answer 2

Tout d'abord: ne paniquez pas! :-)

Il y a une belle identité pour l'arc tangente: $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \pi/2 & x>0 \\[4px] -\pi/2 & x<0 \end{cases} $$ Puisque la limite est pour $x\to\infty$, ce n'est pas restrictif de supposer $x>0$, donc $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x} $$ et, réglage $y=1/x$, la limite devient $$ \lim_{y\to0^+}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\arctan y\Bigr)^{\sin2y} $$ qui n'est pas une forme indéterminée car elle est $1^0=1$.