Une question sur la valeur attendue
Laisser $p$ être un nombre réel entre $0$ et $1$. Simone a une pièce qui atterrit face avec probabilité$p$ et queues avec probabilité $1-p$; elle a également un numéro écrit sur un tableau noir. Chaque minute, elle lance la pièce, et si elle atterrit face, elle remplace le numéro$x$ sur le tableau noir avec $3x+1$; s'il atterrit avec des queues, elle le remplace par$\frac x2$.
Étant donné qu'il y a des constantes $a,b$ de sorte que la valeur attendue de la valeur écrite sur le tableau noir après $t$ les minutes peuvent être écrites comme $at+b$ pour tous les nombres entiers positifs $t$, calculer $p$.
Ma seule idée est que cela ressemble à une distribution binomiale mais avec une variable aléatoire différente. Donc je sais que la valeur attendue du nombre de têtes est$tp$, et c'est $t(1−p)$pour le nombre de queues. Mais quand je pense à permuter ces opérations linéaires sur$x$. Je suis totalement confus. Je pense que le point critique est que je ne sais pas comment utiliser$at+b$ état.
Toute idée ou indice serait apprécié.
Grâce aux conseils de Kimichi et Lulu, j'ai beaucoup progressé sur cette question. Voici le plus loin que j'ai.
$\left(\frac {5p+1}{2}\right)^{t-1}\left(1-\frac {5p+1}{2}-\frac px\right)=t\left(\frac px-1\right)+1+\frac {2}{1-5p}$
où $x$ est constant, et j'ai besoin de trouver $p$qui est une probabilité; aussi, cette équation est valable pour tous les entiers positifs$t$.
Remarque. Problème résolu par kimichi; merci aussi pour la suggestion utile de lulu. Néanmoins, toute autre nouvelle approche est toujours la bienvenue.
Réponses
Après $t$ lance, la fortune attendue de Simone $f(t)$ est donnée par l'expression suivante impliquant le $t$-ème puissance d'une matrice: $$\pmatrix{f(t)\\1}=\pmatrix{3p+q/2&p\\0&1}^t\pmatrix{x\\1}=M^t\pmatrix{x\\1},\tag1$$ où $$ M=\pmatrix{3p+q/2&p\\0&1}=pH +q T$$ où $$H = \pmatrix{3&1\\0&1}\text{ and } T=\pmatrix{1/2&0\\0&1}$$ sont les règles de mise à jour de la fortune de Simone en voyant une seule tête ou une seule queue: si tête, $x\to3x+1$, et si queue, $x\to x/2$.
En d'autres termes, $H$ transforme le vecteur $\pmatrix{x\\1}$ au vecteur $\pmatrix{3x+1\\1}$, et $T$ transforme le vecteur $\pmatrix{x\\1}$ au vecteur $\pmatrix{x/2\\1}$. Une séquence particulière de résultats de retournement de pièces, tels que "têtes, queues, queues" génère la transformation du vecteur initial$v=\pmatrix{1\\1}$ à $TTHv$. L'espérance du résultat sur les 8 séquences de résultats possibles sur trois longues$(pH+qT)(pH+qT)(pH+qT)v$, et ainsi de suite, donnant (1) ci-dessus.
Concilier (1) avec le $at+b$ Ansatz donne lieu à une équation supplémentaire impliquant$p$. À savoir, pour éviter une dépendance exponentielle sur$t$, la matrice $M$ doit être de la forme $M=\pmatrix{1&p\\0&1}$, C'est, $3p+(1-p)/2=1$ ou $p=1/5$. (La forme$M=\pmatrix{0&p\\0&1}$ n'est pas possible si $p$ est une probabilité.)
Voici une autre manière très intelligente d'aborder ce problème, enseignée par un enseignant de mon académie.
Laisser $a_n$ dénote la valeur attendue après $n$ minutes.
$a_{n+1}=p(3a_n+1)+(1-p)(a_n/2)$
Puis par l'hypothèse forte $a_n=an+b$ qui est linéaire, d'où $a_{n+1}-a_n=a$. Si nous substituons l'expression de dernière ligne à$a_{n+1}$ dans cette équation précédente, nous obtiendrons $\left(\left(\frac {5p+1}{2}\right)-1\right)a_n+p=a$. Car$a_n$ varie avec $n$, son coefficient doit être $0$, menant à $p=\frac 15$.