Une question sur $SK_1$ d'anneaux

Question

Laisser $B$ être un anneau commutatif avec l'unité et $B/nil(B):=B_{red}$, où $nil(B)$ est le nilradical de $B$. Est$SK_1(B)=SK_1(B_{red}) ?$ En particulier, est-ce vrai quand $B$ est une algèbre affine sur un champ algébriquement clos?

Answer 1

Oui. Un élément du noyau de$SK_1(B)\rightarrow SK_1(B_{red})$ est représenté par une matrice $M\in GL_n(B)$ pour certains $n$. Écrivez$\overline{M}$ pour la réduction de $M$ mod $nil(B)$. Puis$\overline{M}$ est un produit de matrices élémentaires, qui passent toutes à des matrices élémentaires sur $B$. Ajustement$M$ en conséquence, nous pouvons supposer que $\overline{M}$ est l'identité.

Il s'ensuit que les éléments sur la diagonale de $M$ sont tous $1$ mod $nil(B)$, donc toutes les unités dans $B$. Cela nous permet d'utiliser des opérations élémentaires pour convertir$M$ à une matrice diagonale, qui donc (selon le lemme de Whitehead) représente l'élément zéro de $SK_1(B)$.

(Le même argument fonctionne si $B_{red}$ est remplacé par $B/I$, où $I$ est tout idéal contenu dans le radical Jacobson.)