Une relation générale entre deux mesures Borel.

Question

Supposer $\lambda,\mu$ sont deux $\sigma$-mesures de Borel finies (c'est-à-dire des mesures définies sur l'algèbre de Borel en $\mathbb{R}$) où $\lambda(\mathbb{R})<+\infty$. Prouve-le$\exists B,\mu(B)=0\text{ and }f\in L^1(\mathbb{R},\mu)\ s.t.\int_Af\mathrm{d}\mu=\lambda(A\backslash B)$.

Voici mes tentatives: La première chose à remarquer ici est $\forall A\cap B=\varnothing, \int_{A}f\mathrm{d}\mu=\lambda(A)$, ce qui signifie $B$ doit contenir le `` plus grand '' ensemble de mesures zéro (par exemple, laissez $\lambda(\{0\})\neq 0=\mu(\{0\})$, puis $\{0\}\subset B$, autrement $\int_{\{0\}}f\mathrm{d} \mu=0$), mais quelque chose comme le Lemme de Zorn ne s'applique clairement pas ici.

Alors je pense $\lambda,\mu$ pourrait être considérée comme deux mesures de Lebesgue-Stieltjes (induites par des fonctions continues droites $ f(x)=\mu(0,x])$ et $g(x)=\lambda(0,x]$, par exemple) par $\sigma$-finité, et $\int_{A}g\circ f^{-1}\mathrm{d}\mu=\lambda({A})$pourrait tenir. J'ai donc besoin de trouver un$B$ tel que $f^{-1}$ est bien défini sur $X-B$. Depuis$f$ est monotone, je pense $B$ pourrait avoir quelque chose à voir avec l'ensemble 'Int$\{x:\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} $ existe et est égal à $0\}$', qui est une autre représentation de ma première idée, mais je ne sais pas comment choisir $B$ correctement.

Maintenant, je pense que j'ai peut-être compliqué le problème ... Toute aide ou indice serait apprécié.

Answer 1

Ceci est un exercice sur la décomposition de Lebesgue. Nous pouvons écrire$\lambda$ comme $\lambda_1+\lambda_2$ où $\lambda_1 << \mu$ et $\lambda_2 \perp \mu$. Il existe$B$ tel que $\mu (B)=0$ et $\lambda_2 (B^{c})=0$. Il existe aussi$f \in L^{1}(\mu)$ tel que $\lambda_1 (E) =\int _E fd\mu$ pour tous $E$. Maintenant$\lambda (A\setminus B)=\int_{A\setminus B} fd\mu+\lambda_2 (A\setminus B)=\int_A fd\mu$ pour tous $A$.