Une somme combinatoire

Question

• Toute idée pour évaluer la somme $$ \sum_{j=m}^{k}\frac{\binom{m}{2m - j\,\,}}{\binom{k}{j}} \quad\mbox{with}\quad m \leq k < 2m - 1. $$
• J'ai trouvé la somme pour $k=2m-1$. En fait, il est vérifié que$$ \sum_{j = m}^{2m - 1}\ \frac{\binom{m}{2m-j\,\,}} {\binom{2m - 1\,\,}{j}} = 2m\left(H_{2m} - H_{m}\right), $$ où $H_{j}$ est le $j$-ème numéro d'harmonique.

Answer 1

Ici, le paquet Zeilberger de maxima (jetez un œil à Petkovsek, Wilf, Zeilberger «A = B» pour les détails sanglants) dit que votre somme n'est pas sommable par Gosper. Cela signifie qu'il n'y a pas de formulaire fermé simple pour cela.

Answer 2

Pendant une courte période, j'espérais pouvoir exprimer le résultat en termes de fonctions hypergéométriques mais j'ai échoué.

Si nous laissons $k=m+n$, le problème se réduit à $$S_n=\sum_{j=m}^{m+n} \frac{\Gamma (j+1)\,\,\Gamma (m+n+1-j)}{\Gamma (m+n+1)} \,\binom{m}{2 m-j} $$ qui peut écrire $$S_n=\frac{\Gamma(m+1)}{n!\ \Gamma(m+n+1)} P_{n}(m)$$ où $P_n$ est un polynôme de degré $2n$ (il ne semble pas être factorisable pour aucun $n$).

Les tout premiers sont $$\left( \begin{array}{cc} n & P_n \\ 0 & 1 \\ 1 & m^2+m+1 \\ 2 & m^4+2 m^3+m^2+4 \\ 3 & m^6+3 m^5-2 m^4-9 m^3+13 m^2+18 m+36 \\ 4 & m^8+4 m^7-10 m^6-44 m^5+53 m^4+184 m^3+100 m^2+576 \end{array} \right)$$

Je n'ai pas pu trouver de modèle pour les coefficients [sauf que le terme constant est $(n!)^2$ et que le coefficient de $m^{2n}$ est $1$ (!!)].

La seule chose que j'ai observée est que, si $n$ est pair, le terme est $m$ est systématiquement absente.

Sans aucune preuve, je ne pense pas qu'une forme fermée puisse exister pour un général $n$.