Utiliser l'approximation normale pour estimer la distribution uniforme

Question

Laisser$X_1,...,X_{10}\sim U(0,1)$. Utiliser l'approximation normale pour estimer

$$P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k>5\right).$$

Ma solution pour l'instant :

$EX=\frac{1}{2}$et$VarX=\frac{1}{12}$

$$P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k>5\right)=1-P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k\le5\right)=1-\left(\frac{\sum^{10}_{k=1}X_k-\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}}\le\frac{5-\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}}\right)=1-\Phi\left(\frac{5-\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}}\right)=1-\Phi(54).$$

Je suis assez nouveau dans l'approximation normale et quelque chose ne va pas ici, mais je ne sais pas quoi.

Answer 1

Disons que vous avez$X_1, X_2, \ldots , X_n$iid variables aléatoires, où chaque$X_i$a une valeur attendue de$\mu$et un écart de$\sigma^2$. Ensuite, vous pouvez probablement utiliser le théorème central limite. Pour une taille suffisamment grande$n$la somme de tous$X_i$s est approximativement distribué comme$\mathcal N(n\cdot \mu, n\cdot \sigma^2)$. Avec$\mu=0.5,\sigma^2=\frac1{12}$et$n=10$on a

$$\sum_{i=1}^{10} X_i \overset{\lower{0.5ex}{\cdot}}{\underset{\raise{1ex}{\cdot}}{\sim}} \mathcal N\left(5 , \frac{10}{12}\right)$$

Ainsi, votre ligne se transforme en

$$1-P\left(\sum^{10}_{k=1}X_k\le5\right)=1-P\left(\frac{\sum^{10}_{k=1}X_k-5}{\sqrt{\frac{10}{12}}}\le\frac{5-5}{\sqrt{\frac{10}{12}}}\right)$$

Au dénominateur, nous devons prendre la racine carrée, car nous avons besoin de l'écart type.

$$\approx 1-\Phi\left(\frac{5-5}{\sqrt{\frac{10}{12}}}\right)=1-\Phi(0)=1-0.5=0.5$$

J'ai supposé l'indépendance des variables aléatoires ici. Et une règle empirique pour appliquer le théorème central limite est que$n>30$, ce qui n'est pas rempli ici. Mais probablement$n=10$sert à obtenir$\Phi(0)$, ce qui est facile à évaluer.