Variation de la métrique

Question

Je regarde la dérivation des équations de champ d'Einstein comme les équations d'Euler-Lagrange de la fonctionnelle de Hilbert. Pour ce faire, on commence par une variante$$ g(t) = g+th $$ de la métrique, où $h$est un tenseur symétrique à 2 covariants. Pour les petits$t$, $g(t)$ sera inversible (si nous l'interprétons comme une matrice), il est donc logique de considérer les composants $g(t)^{ij}$de l'inverse. Nous avons$$ 0 = \frac{d}{dt}\Big|_0 (g(t)_{ij} \, g(t)^{jk}) = h_{ij} g^{jk} + g_{ij}h^{jk} \quad\Rightarrow \quad h^{lk} = - g^{il} g^{jk} h_{ij}. $$ Ma question: que font exactement les coefficients$h^{lk}$ représenter?

J'ai toujours pensé que si l'on avait un tenseur, disons, 1-covariant $A = A_i dx^i$, puis $A^i$ désignent les composantes du tenseur 1-contravariant $A^\#$(cf. isomorphismes musicaux ), donné par$A^i = g^{ij}A_j$. Mais dans la formule pour$h^{lk}$ ci-dessus, nous avons également un signe moins devant, donc pour autant que je puisse voir les coefficients $h^{lk}$ ne sont pas obtenus en augmentant les indices de $h_{lk}$. Cela étant dit, la métrique n'est pas vraiment figée dans ce cas donc les isomorphismes musicaux ne le sont pas non plus, ce qui peut être source de confusion pour moi.

Answer 1

Votre erreur est que $$h^{jk} \neq \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{jk}.$$En réalité, $h^{jk}$ est obtenu en augmentant les deux indices de$h_{jk}$. Ce que vous avez montré, c'est que$$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{\ell k} = -g^{i\ell}g^{jk}h_{ij} = - h^{\ell k}.$$La philosophie derrière cela est: vous savez que la vitesse initiale de la courbe $t\mapsto g(t)$ est $h$, et vous souhaitez calculer la vitesse initiale des autres objets géométriques associés à $g(t)$ en terme de $h$. La vitesse initiale de la courbe des coefficients inverses est$-h$ (jusqu'aux isomorphismes musicaux).

En ce qui concerne les coefficients, vous effectuez des calculs sur des groupes de Lie matriciels. Là, la formule de la dérivée de l'inversion$\iota(A)=A^{-1}$ est donné par $d\iota_A(H) = - A^{-1}HA^{-1}$, donc tout va bien (comparer avec $(1/x)'=-1/x^2$et le rendre non commutatif; chaque$A^{-1}$ correspond à élever un indice).