Variété complexe définie sur $\mathbb{Q}$

Question

Si l'on considère des variétés projectives complexes, à définir sur $\mathbb{Q}$ signifie qu'il y a un plongement projectif dont l'image est le lieu de fuite d'un système polynomial avec des coefficients en $\mathbb{Q}$.

Si nous considérons des variétés complexes fermées, il n'y a pas d'espace ambiant évident.

Cependant, nous pourrions exiger qu'il y ait un entier positif $n$ et un choix de

• pour toute $1\leq i\leq n$, ensembles ouverts $U_i\subset M$
• pour toute $1\leq i<j\leq n$ tel que $U_i\cap U_j\neq \emptyset$, points $p_{i, j}\in U_i\cap U_j$
• pour toute $1\leq i \leq n$, plongements holomorphes $\phi_i:U_i\to \mathbb{C}^{d}$ tel que pour tout $i< j \leq n$ avec $U_i\cap U_j\neq \emptyset$ les cartes de transition $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ sont des rapports de deux fonctions holomorphes $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ chacun ayant une série de Taylor avec des coefficients en $\mathbb{Q}$ environ $p_{i, j}$ qui convergent sur tous $\phi_i(U_i\cap U_j)$?

Cette notion a-t-elle été étudiée? Y a-t-il un collecteur complexe fermé qui n'est pas dans la classe Fujiki$\mathcal{C}$ satisfait à cette condition?

Answer 1

Notez qu'il s'agit d'une réponse correcte à la question initiale, je vais donc la laisser ici, même si la question a maintenant été modifiée. (La question d'origine est récupérable en revenant aux versions précédentes.)

En fait, chaque variété complexe possède un tel atlas.

Laisser $(M,J)$ être un complexe (de dimension finie) $n$-manifold et laisser $\mathscr{U}$ être une couverture ouverte de $M$avec les propriétés que (i) pour chaque$U\in\mathscr{U}$, Il y a un $J$-graphe holomorphe $\zeta:U\to\mathbb{C}^n$, et (ii) pour chaque$U\in\mathscr{U}$ il y a un point $p\in U$ qui ne réside dans aucun $V\in\mathscr{U}$ autre que $U$. (En utilisant la paracompactité, il n'est pas difficile de construire un tel graphique.) Puis en choisissant un tel `` point de référence ''$p_U\in U$ avec $p_U\not\in V\in\mathscr{U}$ pour $V\not=U$ et une $J$-graphe holomorphe $\zeta_U:U\to\mathbb{C}^n$ de sorte que $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$, nous arrivons à un 'atlas pointu' $$ \widehat{\mathscr{U}} = \{ (U,\zeta_U,p_U)\ |\ U\in \mathscr{U}\ \} $$avec toutes les propriétés indiquées. La raison en est que le seul moment où le point$p_U$ est dans le domaine d'une fonction de transition pour l'atlas pointé $ \widehat{\mathscr{U}}$ c'est quand on `` fait la transition '' de $U$ à $V=U$, et, dans ce cas, la seule fonction de transition est le mappage d'identité sur $\zeta_U(U)\subset\mathbb{C}^n$, dont la série Taylor à $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$ a clairement tous les coefficients dans $\mathbb{Q}$ (en fait, tous les coefficients sont en $\mathbb{Z}$).