VECM représentant un système I (0)?

Question

Je fais référence à Johansen (1991) où il considère$p$-processus d'ordre autorégressif dimensionnel $k$

$$ X_t = \sum_{i=1}^{k} \Pi_i X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{1}\label{1} $$

écrit sous forme de correction d'erreur vectorielle

$$ \Delta X_t = \Pi X_{t-1} \ + \ \sum_{i=1}^{k-1} \Gamma_i \Delta X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{2}\label{2} $$

où $\Pi = \sum_{i=1}^k \Pi_i \ - \ I$ et $\Gamma_i = - \sum_{j=i+1}^k \Pi_j$.

Il déclare sans référence ni preuve que si le $\ p\times p \ $ matrice $\Pi$ a le rang complet alors $X_t$ est un processus stationnaire.

Quelqu'un peut-il me fournir une référence ou est en mesure de le prouver?

Answer 1

Oui, je fournirai une référence et une intuition rapide. Dans Lutkepohls "Nouvelle introduction à l'analyse de séries chronologiques multiples" (2005, p.248), il explique que le rang complet de$\Pi$ dans l'équation (2) implique en fait que $X$est stationnaire. Le rang d'une matrice est directement lié à son inversibilité, les matrices de rangs complets sont inversibles et les matrices de rang inférieur sont singulières. Ceci est évident si vous considérez le déterminant comme le produit des éléments diagonaux de la matrice réduite, lorsqu'il n'est pas de rang complet, au moins un élément de ce produit est égal à zéro, ce qui rend le déterminant nul. L'inversibilité de$\Pi$a à voir avec la stabilité de$\Pi$, ce qui à son tour implique la stationnarité.