Vecteurs propres généralisés | Approche correcte

Question

J'ai une matrice $$A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ -1 & 3\end{bmatrix}$$Je veux découvrir les vecteurs propres généralisés. Les valeurs propres correspondant à l'équation caractéristique sont$\lambda = 2$ et le vecteur propre correspondant à la valeur propre se révèle être $\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}$.

Alors, comment calculer le vecteur propre généralisé pour cette matrice.

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Ce que j'ai fait c'est,

j'ai pris $(A-\lambda\cdot I)^2 \nu = 0$.

puis résoudre le $(A-\lambda I)^2 = \begin{bmatrix}1-\lambda & 1 \\ -1 & 3-\lambda \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix}\lambda^2-2\lambda & 4 - 2\lambda \\ 2\lambda-4 & \lambda^2 - 6\lambda+8 \end{bmatrix}$

À ce stade, je ne sais pas si je fais les choses correctement. car trouver le déterminant amènera cela à$\lambda^4$.

Answer 1

Puisque $\lambda=2$ a une multiplicité algébrique égale à 2, la forme Jordan est

$$J = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$$

puis par $P=[v_1\,v_2]$

$$P^{-1}AP=J \implies AP=PJ$$

C'est

• $Av_1=2v_1$ (déjà trouvé)
• $Av_2=v_1+2v_2 \implies (A-2I)v_2=v_1$

Answer 2

$$ \begin{bmatrix} \lambda^2-2\lambda & 4-2\lambda \\ 2\lambda-4 & \lambda^2-6\lambda+8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

Par conséquent, vous pouvez choisir n'importe quel vecteur propre que vous voulez, tant qu'il ne satisfait pas $(A-\lambda I)$.