Vérification pour une série de limites

Question

Je demande gentiment si mes étapes pour ces limites sont bonnes.

Je commence, toujours immédiatement, à vérifier le domaine et c'est un conseil pour mes élèves d'un lycée.

J'ai, par exemple cette fonction où le domaine de

$$\operatorname{dom}\left(\frac{(1-x)^{\sqrt x}}{x-2}\right)=\{x\in \Bbb R \colon 0\leq x \leq 1\}$$

et je pense qu'il n'est pas possible d'écrire ça $x\to +\infty$

Si j'ai la fonction $g(x)=\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^{\sqrt x}$ où il est possible d'avoir $x\to +\infty$, mes pas sont:

$$\lim _{x\to +\infty }\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^{\sqrt x}=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)^{\sqrt x}= \lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)^{\frac{(x-2)\sqrt x}{x-2}} $$

$$=\lim_{x\to +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x-2}\right)^{x-2}\right]^{\sqrt{\frac{x}{(x-2)^2}}}=e^0=1 $$

Si la fonction est:

$$\psi(x)=\frac{(x-1)^{\sqrt x}}{x-2}$$

il est possible à partir du domaine simple que $x\to +\infty$, $$\lim _{x\to +\infty }\frac{(x-1)^{\sqrt x}}{x-2}=\lim _{x\to +\infty }\frac{e^{\sqrt{x}\ln \left(x-1\right)}}{x-2}=\frac{e^{\lim _{x\to +\infty}x\sqrt{x}\,\frac{\ln (x-1)}{x}}}{x-2} \tag{A}$$

Étant $$\lim _{x\to +\infty \:}\frac{\ln \left(x-1\right)}{x}=0 \tag{B}$$

J'aurai l'exposant $x\sqrt{x}\,\frac{\ln (x-1)}{x}$ (dans (A) dernière étape) une forme indéterminée $(\infty\cdot0)$. Existe-t-il une stratégie sans l'utilisation de la règle L'Hôpital pour le (A)?

Answer 1

N'utilisons pas la règle de L'Hôpital dans $(A)$.

$$\bbox[yellow,5px,border:2px solid red]{\frac{(x-1)^{\sqrt x}}{x-2}=\frac{x^{(\sqrt x-1)}(1-x^{-1})^{x(\sqrt x)^{-1}}}{1-2x^{-1}}=P(x)\cdot Q(x)}\tag{1}$$

où, $$P(x)=x^{(\sqrt x-1)}, \quad \text{and} \quad Q(x)=\frac{(1-x^{-1})^{x(\sqrt x)^{-1}}}{1-2x^{-1}}$$

Notez que $\lim_{x\to \infty} Q(x)=1$ ($\,\text{Numerator}$ de $Q(x)$ tend à $e^0=1$).

Supposons au contraire que la limite $(1)$ existe (définitivement) comme $x\to \infty$ et est égal à $L\in \mathbb R$.

Par conséquent, par des règles de limite, $P(x)=\dfrac{P(x)Q(x)}{Q(x)}\implies \lim_{x\to \infty} P(x)=L$, ce qui est une contradiction (voyez-vous pourquoi?).

Par conséquent, la limite n'existe pas définitivement.