Vérifier la différentiabilité d'une fonction

Question

J'ai besoin d'un contrôle sur l'exercice suivant:

Considérez la fonction suivante $$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^3 y}{x^2 + y^4} \quad (x,y) \ne (0,0) \\ 0\quad \quad (x,y)=(0,0) \end{cases} $$

déterminer où la fonction est différentiable.

J'ai vérifié que la fonction est continue sur l'ensemble $\mathbb{R}^2$ et que les dérivés $\partial_x f(0,0)=\partial_y f(0,0)=0$.

• Différenciabilité: tout d'abord, pour tout point $(x,y)\ne (0,0)$ les dérivées partielles sont continues à $(x,y)$ et ils existent dans un quartier de $(x,y)$. La partie délicate est pour$(x,y)=(0,0)$. Là, je ne connais que la valeur des dérivés à$(0,0)$ mais je n'ai pas d'autres informations, donc je dois étudier la limite suivante:

$$\lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}$$

Je note que $$|\frac{h^3 k}{(h^2 + k^4) \sqrt{h^2+k^2}}| = |\frac{h^2 \cdot h k}{(h^2 + k^4) \sqrt{h^2+k^2}}| $$ et depuis $$|\frac{h^2}{h^2 + k^4}|<1$$ j'ai $$|\frac{h^2 \cdot h k}{(h^2 + k^4) \sqrt{h^2+k^2}}|<|\frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}| < |\frac{hk}{|h|}| =_{\text{h} \ne 0} |k|$$ (si $h=0$ alors la limite est identique $0$)

Maintenant, comme $(h,k) \rightarrow (0,0)$ le rhs va à $0$ et donc la limite est $0$ et la fonction est différentiable.

Par conséquent, la fonction est différenciable dans l'ensemble $\mathbb{R}^2$, droite?

est-ce que tout est correct

Answer 1

Voici une preuve que $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.$$

Laisser $\varepsilon>0$. Prendre$\delta=\varepsilon$, laisser $(x,y) \in \mathbb{R}^2\backslash \{(0,0)\}$ tel que $||(x,y) - (0,0)|| \leq \delta$.

\begin{align} \left|\frac{f(x,y) - f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}} - 0\right| &= \left|\frac{x^3y}{(x^2 + y^4) \sqrt{x^2+y^2}}\right| \\ &= \left| \frac{x^2}{x^2 + y^4} \right| \left| \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| \left| y \right| \\ &\leq \left| y \right| \leq \delta = \varepsilon. \end{align}

Alors, $f$ est différenciable à $(0,0)$.