visualisation des variables aléatoires iid

Question

Je suis en train de penser $X_1, X_2, \cdots$ étant des variables aléatoires iid, cette carte $\omega \in \{0,1\}$ à $\{0,1\}$. Si$\omega = 0$, puis $X_i = 0$; si$\omega = 1$, puis $X_i = 1$.

Cependant, si nous définissons de cette façon, tous les $X_i$sont les mêmes. D'où vient le caractère aléatoire? À ce stade, nous n'avons encore défini aucune mesure de probabilité. Comment visualiser les variables aléatoires iid?

Answer 1

Si vous utilisez cette définition pour tous $X_i$, alors ils ne sont pas indépendants car ils auront tous la même valeur. Lorsque vous réparez un seul$\omega$, vous fixez automatiquement les valeurs (réalisations) pour chaque variable aléatoire de l'univers. Dans votre définition, en choisissant l'une ou l'autre des valeurs$\omega$ corrections $X_1\left(\omega\right)=X_2\left(\omega\right)=...$ être la même valeur.

Quand on travaille avec des variables aléatoires, on les définit rarement directement sur l'espace des résultats, et on n'essaye pas non plus de définir précisément ce qu'est l'espace des résultats. On suppose plutôt qu'il existe un espace de résultats, mais on ne travaille qu'avec la mesure de probabilité induite par diverses distributions. Alors, quand tu dis ça$X_1$ et $X_2$ sont des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, vous supposez implicitement l'existence d'un espace de probabilité approprié $\left(\Omega,\mathcal{F},P\right)$, mais il n'est pas nécessaire de définir explicitement tous ces éléments pour pratiquement tout ce que vous pourriez vouloir faire avec les variables aléatoires. Il suffit de savoir$P\left(A\right)$ pour les événements $A$ impliquant les variables aléatoires.

Cependant, si vous vouliez vraiment définir un espace de résultats pour deux $Bernoulli\left(p\right)$ variables aléatoires, vous auriez besoin de quatre résultats avec

\ begin {eqnarray *} X_1 \ left (\ omega_1 \ right) & = & 1, X_2 \ left (\ omega_1 \ right) = 1 \\ X_1 \ left (\ omega_2 \ right) & = & 1, X_2 \ left (\ omega_2 \ right) = 0 \\ X_1 \ left (\ omega_3 \ right) & = & 0, X_2 \ left (\ omega_3 \ right) = 1 \\ X_1 \ left (\ omega_4 \ right) & = & 0 , X_2 \ left (\ omega_4 \ right) = 0 \\ \ end {eqnarray *}

avec $P\left(\left\{\omega_1\right\}\right) = p^2$, $P\left(\left\{\omega_2\right\}\right) = P\left(\left\{\omega_3\right\}\right) = p\left(1-p\right)$, et $P\left(\left\{\omega_4\right\}\right) = \left(1-p\right)^2$.