$|x|^{3/2}$ fortement convexe?

Question

$$f(x) = |x|^{3/2}, x \in \mathbb{R}$$ Si vous prenez le 2ème dérivé, vous obtenez $$ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{|x|}}$$ Si vous passez par l'exigence que $f$ est fortement convexe lorsque $$f''(x) \geq m \gt 0$$ ensuite $f$ est fortement convexe.

Cependant, si vous vous conformez à l'exigence que $f$ est fortement convexe lorsque

$$g(x)=f(x)−\frac{m}{2} ||x||^2$$ est convexe, $∀x$ et certaines $m>0$ $$g(x) = |x|^{3/2} - \frac{m}{2} ||x||^2$$ $g$ n'est clairement pas convexe puisque $\frac{d^2}{dx^2}\frac{m}{2}||x||^2 > \frac{d^2}{dx^2}|x|^{3/2}$ pour assez grand $x$.

S'il vous plaît laissez-moi savoir où est mon erreur!

Merci

Answer 1

C'est vrai que $f''>0$ où il est défini, et en fait $f$ est toujours convexe sur un intervalle contenant $0$ alors même que $f''(0)$n'est pas vraiment défini. (Dans un sens un peu vague, vous pouvez dire$f''(0)=+\infty$.)

Cependant, la première exigence que vous avez mentionnée ne tient pas parce qu'il n'y a pas de numéro unique$m>0$ tel que $f'' \geq m$ partout, depuis $f''$va à zéro à l'infini. Donc$f$ n'est pas fortement convexe, mais il est néanmoins strictement convexe.