A dimostrarlo $pr$ e $qs$ sono perpendicolari

Question

Considera un quadrilatero convesso con vertici in $a, b, c$ e $d$e su ogni lato disegna un quadrato che giace all'esterno del quadrilatero dato, come nella figura sotto. Permettere$p, q, r$ e $s$ essere i centri di quelle piazze:

Dimostrare che il segmento di linea tra $p$ e $r$ è perpendicolare e di lunghezza uguale al segmento di linea tra $q$ e $s$.

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Finora l'ho stabilito \begin{align*} p &= \frac{a + b + (a-b)i}{2} \\ q &= \frac{b+c + (b-c)i}{2} \\ r &= \frac{c + d + (c-d)i}{2} \\ s &= \frac{a + d + (d-a)i}{2}\, . \end{align*} Da qui voglio dimostrarlo $p - r = q-s.$ Tuttavia, quando sostituisco, ottengo $$\frac{(a + b - c - d) + (a + d - b - c)i}{2} = \frac{(b + c - a - d) + (b + a - c - d)i}{2},$$che non riesco a manipolare per ottenere un'uguaglianza. So dove andare da qui semplicemente ruotando il punto$p$ per $q$ e $r$ per $s,$ ma qualcuno potrebbe aiutarmi nella parte in cui sono attualmente bloccato?

Answer 1

Hai effettivamente finito.

Quello che hai in vigore

è questo $z_1 = [R + iS]$

e $z_2 = [S - iR]$

Due cose sono quindi immediate.

$|z_1| = |z_2|.$

La pendenza di$z_1$è il reciproco negativo della pendenza di$z_2$.

Ciò significa che il file $z_1$ e $z_2$ sono ortogonali tra loro.