Algoritmo per risolvere problemi elettromagnetici usando solo forze
C'è qualche problema fondamentale per risolvere i problemi elettromagnetici con il seguente algoritmo? (praticità a parte)
i) Impostare posizione, velocità, massa e carica per un insieme di particelle.
ii) Calcolare il campo elettrico alla posizione di ogni particella prodotta da tutte le altre particelle con la legge di Coulomb.
iii) Calcolare il campo magnetico alla posizione di ogni particella prodotta da tutte le altre particelle con la legge di Biot-Savart.
iv) Spostare tutte le particelle di una quantità differenziale usando la seconda legge di Newton con la forza di Lorentz:
per ogni particella che calcolo:$m \vec a = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$
v) Andare al passaggio ii.
Risposte
Sì. Almeno due che posso vedere di sfuggita:
La legge di Coulomb vale solo in Elettrostatica , il che significa che non vale per le cariche in movimento, anche quelle che si muovono con una velocità uniforme l'una rispetto all'altra. Questo perché il campo elettrico per una carica in movimento non è più il "solito"$1/r^2$campo elettrico come si può vedere nel capitolo 26 delle Feynman Lectures (vedi Fig 26-4).
Allo stesso modo, la legge di Biot-Savart vale solo per la magnetostatica , dove si ha a che fare con correnti stazionarie . Una singola carica a punto mobile non è certamente una corrente stazionaria!
Inoltre, poiché questi campi non sono costanti, bisogna anche ricordare che i cambiamenti nel campo elettromagnetico viaggiano alla velocità della luce$c$. In altre parole, le cariche non percepiranno una forza istantanea come lei descrive, ma ritardata , ritardata di un tempo$t - r/c$dove$r$è la distanza tra le cariche.
Ora, potresti fare un po' meglio usando effettivamente i campi elettrici e magnetici esatti delle cariche in movimento (questi sono derivati nel capitolo delle Feynman Lectures che ho linkato sopra), tenendo conto del ritardo, e poi usa la formula:
$$\mathbf{F} = q (\mathbf{E + v \times B}),$$
ma vedo anche un quarto problema: le cariche accelerate irradiano energia sotto forma di onde elettromagnetiche. Questa emissione provoca una forza di rinculo sulla particella carica chiamata forza di Abraham-Lorentz (o reazione di radiazione) . Dovresti tenerne conto anche per una descrizione completa. Tuttavia anche questo è valido solo a velocità piccole rispetto alla velocità della luce$c$. La sua versione relativistica è la forza di Abraham-Lorentz-Dirac, credo.
Ma questo suona come un problema molto complicato senza prima fare alcune ipotesi (prendendo il limite non relativistico, ecc.).
Penso che la primissima pagina delle lezioni di Fenyman Vol 2 lo menzioni quando cerca di motivare il motivo per cui usiamo i campi e non solo le forze.
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/
È un po' scarno ma:https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_01.html
Si scopre che le forme in cui le leggi dell'elettrodinamica sono più semplici non sono quelle che ci si potrebbe aspettare. Non è semplicissimo dare una formula per la forza che una carica produce su un'altra. È vero che quando le cariche sono ferme la legge della forza di Coulomb è semplice, ma quando le cariche si muovono le relazioni sono complicate dai ritardi nel tempo e dagli effetti dell'accelerazione, tra gli altri. Di conseguenza, non vogliamo presentare l'elettrodinamica solo attraverso le leggi della forza tra cariche; troviamo più conveniente considerare un altro punto di vista, un punto di vista in cui le leggi dell'elettrodinamica sembrano essere le più facilmente gestibili.
Quindi immagino che la risposta alla tua domanda sia che il tuo metodo non tiene conto della velocità finita alla quale i disturbi nei campi magnetico ed elettrico si propagano tra le cariche.