Differenza tra $1-P(A)$ e $P(A')$ in probabilità

Question

Ho la seguente domanda:

Prima della distribuzione di alcuni software statistici, viene verificata l'accuratezza di ogni quarto compact disk (CD). Il processo di test consiste nell'esecuzione di quattro programmi indipendenti e nel controllo dei risultati. Le percentuali di fallimento per i quattro programmi di test sono, rispettivamente,$0.01, 0.03, 0.02,$ e $0.01$.
(a) Qual è la probabilità che un CD sia stato testato e non abbia superato alcun test?

La mia soluzione:

Dobbiamo moltiplicare la probabilità che un disco sia stato testato e moltiplicarla per la probabilità che un disco non superi uno dei quattro test. La probabilità che un disco venga testato è$1/4$, la probabilità che un dato disco non superi il test, in altre parole la probabilità dei programmi $A$ o $B$ o $C$ o $D$ fallire è:
$P(A)+P(B)+P(C)+P(D)-P(A \cap B \cap C \cap D)$

=$0.07-(0.01*0.01*0.02*0.03)$ =$0.06999994$

quindi la nostra risposta finale sarebbe $0.25*0.06999994=0.017499985$

Tuttavia quello che hanno fatto è stato diverso: hanno preso la probabilità che tutti e 4 i programmi funzionassero correttamente e questo è $0.99*0.99*0.98*0.97$ e ha fatto $1-(0.99*0.99*0.98*0.97)$ ciò che produce $ 0.06831696$ e non è la stessa della mia risposta in questo passaggio ($0.06999994$)

A cosa è dovuta questa differenza? Dove ho sbagliato?

Nota: le 2 risposte finali sarebbero le stesse dopo l'arrotondamento ($0.17$) ma voglio sapere dove le cose sono andate storte prima.

Answer 1

La differenza è che non riesci a tenere conto della possibilità che un disco fallisca esattamente due o tre test, quindi stai (leggermente) sottostimando il tasso di errore.

Answer 2

La probabilità corretta che almeno uno fallisca è, per inclusione-esclusione, $$P(A)+P(B)+P(C)+P(D)\\-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(A\cap D)-P(B\cap C)-P(B\cap D)-P(C\cap D)\\+P(A\cap B\cap C)+P(A\cap B\cap D)+P(A\cap C\cap D)+P(B\cap C\cap D)\\ -P(A\cap B\cap C\cap D).$$ Supponendo che gli eventi siano indipendenti, questo è esattamente ciò che otterresti se moltiplicassi $(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))(1-P(D))$ e lo ha sottratto da $1$.