Differenza tra "è chiuso sotto" e "è stabile sotto"?
In https://en.wikipedia.org/wiki/Bornological_space Si dice che
Una natologia su un insieme X è una raccolta ℬ di sottoinsiemi di X tale che
- [...]
- ℬ è stabile sotto le inclusioni, cioè se A ∈ ℬ e A ′ ⊆ A, allora A ′ ∈ ℬ;
dove "è stabile sotto" suona molto simile a "è chiuso sotto" da https://en.wikipedia.org/wiki/Closure_(mathematics):
Un insieme viene chiuso in un'operazione se l'esecuzione di tale operazione sui membri dell'insieme produce sempre un membro di quell'insieme.
Quando scelgo quale espressione e qual è la differenza tra queste espressioni?
È https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_(mathematics)#Invariant_set relativo a "è stabile sotto" e se sì, come?
Risposte
La "chiusura" riguarda le operazioni. Ad esempio, il set$\Bbb N$, come sottoinsieme di $\Bbb R$, è chiuso per moltiplicazione (il prodotto di due numeri naturali è sempre un numero naturale), ma non per divisione (il quoziente di due numeri naturali non è sempre un numero naturale).
Tuttavia, questo non si applica alle inclusioni, poiché l'inclusione non è un'operazione. Essere "stabili sotto le inclusioni" significa che se$A$ appartiene al tuo set e se $A'$ è un sottoinsieme di $A$, poi $A'$ appartiene anche al tuo set.