Dimostrare che un set è chiuso.

Question

Mi è stato dato il set:

$\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : r^2 \leq x^2+y^2\leq R^2,z^2 \in [\epsilon,1]\}$.

Per $0 \leq r \leq R$ e $\epsilon \in (0,1)$.

Credo che questo set sia chiuso (sicuramente non è aperto), tuttavia, sono piuttosto bloccato su come mostrare che è chiuso.

Ho provato a dimostrare che contiene tutti i suoi punti limite, ma questo sembra molto molto difficile. Ho anche provato a dimostrare che il suo complemento è aperto, ma anche questo è difficile.

C'è qualche altro modo in cui potrei dimostrare che è chiuso in modo più conciso? Qualsiasi aiuto è apprezzato.

Answer 1

Suggerimento: prendi$(x_0,y_0,z_0) \in \overline{F}$, dove $F=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : r^2 \leq x^2+y^2\leq R^2,z^2 \in [\epsilon,1]\}$ e una sequenza $\{(x_n,y_n,z_n)\} \subset F$ tale che $(x_n,y_n,z_n) \rightarrow (x_0,y_0,z_0)$ nel $\mathbb{R}^{3}$.

Answer 2

$f(x.y,z)= x^2+y^2$ e $g(x,y,z)=z^2$ sono attive entrambe le funzioni continue $\Bbb R^3$. Il tuo set è uguale$$f^{-1}[[r^2,R^2]] \cap g^{-1}[[\varepsilon, 1]]$$per definizione. Questa è un'intersezione di immagini inverse di insiemi chiusi sotto mappe continue, così chiuse.