Domanda sugli asintoti.

Question

Permettere $f(x) = 3\cdot\frac{x^4+x^3+x^2+1}{x^2+x-2}.$ Dai un polinomio $g(x)$ così che $f(x) + g(x)$ ha un asintoto orizzontale di $0$ come $x$ si avvicina all'infinito positivo.

Ho provato a usarlo se il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore, l'asintoto orizzontale è $y = 0$, ma non sono riuscito ad arrivare da nessuna parte. Come dovrei risolverlo?

Answer 1

Eseguire la divisione euclidea del numeratore per denominatore: $$x^4+x^3+x^2+1=(x^2+3)(x^2+x-2) -3x+7. $$ Deduciamo $$f(x)=3(x^2+3)+3\frac{-3x+7}{x^2+x-2}.$$ La frazione tende a $0$ come $x\to\infty$, quindi possiamo prendere $\:g(x)=-3(x^2+3)$.

Answer 2

La risposta migliore è che dopo aver eseguito la divisione lunga polinomiale, ottieni $f(x)=3x^2+9+\frac{-9x+21}{x^2+x-2}$. Nota che il terzo termine soddisfa il tuo requisito di asintoto orizzontale di$0$, e così lasci $g(x)$ cancella la parte sinistra, quindi $g(x)=-3x^2-9$.

Grafico: https://www.desmos.com/calculator/6ynoxvdfpe