Domanda sull'equazione di Pell.

Question

Domanda. Supporre che$x,y,x',y'$ sono numeri interi positivi soddisfacenti $x^2-dy^2=\pm 1$ e $(x')^2-d(y')^2=\pm 1$rispettivamente. Supponendo$x<x'$, prova che $y<y'$.

Non so bene da dove cominciare. In primo luogo, prendendo la soluzione positiva, ho preso in considerazione$(x+\sqrt{d}y)(x-\sqrt{d}y)=1$ così possiamo avere $y=0$ e $x=1$. Ma poi non so davvero come questo aiuti.

Eventuali suggerimenti o percorsi di continuazione sarebbero molto apprezzati.

Answer 1

Hai

$$x^2-dy^2=\pm 1 \tag{1}\label{eq1A}$$

$$(x')^2-d(y')^2=\pm 1 \tag{2}\label{eq2A}$$

Se $d \lt 0$, non ci sono soluzioni solo in numeri interi positivi e, se $d = 0$, quindi devono essere entrambi i lati destro $1$ con $x = x' = 1$, anche questo non è consentito. Quindi,$d \gt 0$.

Quindi, non assumendo necessariamente il lato destro $\pm 1$ i valori sono gli stessi in $2$ equazioni, \ eqref {eq2A} meno \ eqref {eq1A} restituisce

$$((x')^2 - x^2) - d((y')^2 - y^2) = z \tag{3}\label{eq3A}$$

dove $z \in \{-2, 0, 2\}$, così $z \le 2$. Da$x \ge 1$, e $x' \gt x \implies x' \ge x + 1$, ottieni $(x')^2 - x^2 \ge (x + 1)^2 - x^2 = 2x + 1 \ge 3$. Quindi,$- d((y')^2 - y^2) \le -1 \implies d((y')^2 - y^2) \ge 1$ e, da allora $d \gt 0$, hai anche $(y')^2 - y^2 \gt 0 \implies y' \gt y$.

Answer 2

Hm ... non è banale da provare?

Primo, è facile vederlo $d$ è positivo.

Secondo, puoi esprimere direttamente $y$ e $y'$come funzione
(è la stessa funzione) di$x$ e $x'$ rispettivamente.

$$y = \sqrt{\frac{x^2-1}{d}}$$
$$y' = \sqrt{\frac{x'^2-1}{d}}$$

E poi da questa funzione

$$f(t) = \sqrt{\frac{t^2-1}{d}}$$

è in aumento e $x \lt x'$, la tua dichiarazione $y \lt y'$ è ovviamente vero.