È $X/R$ omeomorfo a $\mathbb R$?

Question

Considere il $X=\mathbb R\times (0, +\infty)$ dotato della topologia indotta di $\mathbb R^2$. In$X$ definire la relazione di equivalenza:

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\iff x_1=x_2.$$

È vero che il quoziente $X/R$ è omeomorfo a $\mathbb R$?

Penso di sì perché se definiamo $f: X\rightarrow \mathbb R$ ambientazione $f(x, y)=x$ poi

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\implies f(x_1, y_1)=x_1=x_2=f(x_2, y_2)$$

così $f$ scende al quoziente $\widehat{f}: X/R\rightarrow \mathbb R$ di $$\widehat{f}([x, y])=x.$$

Questa mappa $f$ è continuo perché se $\mathcal{U}$ è aperto in $\mathbb R$ poi

$$f^{-1}(\mathcal{U})=\mathcal{U}\times (0, +\infty)$$ è aperto in $X$. Ciò implica$\widehat{f}$è continuo. Chiaramente$\widehat{f}$ è una biiezione, ma non posso concludere l'argomento per dimostrare che è un omeomorfismo.

Grazie.

Answer 1

Hai l'idea giusta, ma per vedere l'apertura, dobbiamo identificare di cosa si tratta $X/R$ sono: Consiste esattamente di tutti i set $U\subseteq X/R$ tale che la prima immagine della proiezione sulle classi di equivalenza $X\to X/R$ è aperto.

Le preimmagini sono date proprio da set $S\subseteq X$ che sono chiusi sotto questa relazione di equivalenza, cioè se $s\in S$, poi ogni $s'$ con $sRs'$deve essere anche in S. In altre parole, deve essere l'unione di classi di equivalenza (anche partizionate da). In questo caso, le classi di equivalenza sono della forma$\{x\}\times (0,\infty)$. Pertanto, S deve essere della forma$\mathcal S\times (0,\infty)$.

Secondo la definizione della topologia del prodotto, questa è aperta in $X$ se e solo se $\mathcal S\subseteq \mathbb R$ è aperto.

Quindi, la mappa $\hat f\colon X/R\to \mathbb R$ prendendo $[(x,y)]=\{x\}\times (0,\infty)$ per $x$ mappa un insieme aperto $\mathcal U\times (0,\infty)$ al set aperto $\mathcal U$, e hai finito.