Elementi principali in $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$

Question

Devo determinare quale degli elementi $3+2\sqrt{5}$, $9+4\sqrt{5}$ e $4-\sqrt{5}$ sono elementi principali in $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, rispettivamente che sono associati.

La mia risposta è la seguente:

Quindi lascia $x=3+2\sqrt{5}$ dividere $ab$ per $a,b \in R$. Quindi, ci sono$u,v \in \mathbb{Z}$, tale che $$ab=(a_1+b_1\sqrt{5})(a_2+b_2\sqrt{5})=(a_1a_2+5b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1\sqrt{5})=(u+v\sqrt{5})(3+2\sqrt{5})=(3u+10v)+(3v+2u)\sqrt{5}.$$ Come passo da qui per verificare se $x|a$ o $x|b$?

Answer 1

$3+2\sqrt{5}$ ha norma $-11$ e $4-\sqrt{5}$ ha norma $11$. Forse sono soci. Infatti$$ \frac{3+2\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} = 2+\sqrt{5} $$ e $2+\sqrt{5}$ è un'unità perché ha norma $-1$. Infatti,$(2+\sqrt{5})(-2+\sqrt{5})=1$.

$9+4\sqrt{5}$ è un'unità perché ha norma $1$ e così $(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5})=1$.

Resta da decidere se $3+2\sqrt{5}$è il primo. Ritenere$$ \frac{\mathbb Z[\sqrt{5}]}{\langle 3+2\sqrt{5} \rangle} = \frac{\mathbb Z[\sqrt{5}]}{\langle 3+2\sqrt{5},11 \rangle} = \frac{\mathbb Z[X]}{\langle X^2-5,3+2X,11 \rangle} \cong \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,3+2X \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,2(7+X) \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X^2-5,X+7 \rangle} = \frac{\mathbb Z_{11}[X]}{\langle X+7 \rangle} \cong \mathbb Z_{11} $$che è un dominio. Perciò,$3+2\sqrt{5}$ è il primo.