Equazione per stringa stazionaria

Question

Ho alcuni dubbi sulla seguente derivazione dell'EOM di una stringa stazionaria.

Permettere$F_x, F_y$essere la tensione orizzontale e verticale della corda
$\mu$essere la massa per unità di lunghezza della corda [kg/m]

$$\frac{F_{2y}}{F_{2x}} = \tan\theta_+ = y'(x + dx)$$ $$\frac{F_{1y}}{F_{1y}} = \tan\theta_- = y'(x)$$ $$dm = \mu dx$$Nessuna forza netta,$$F_{1x} = F_{2x} = F$$ $$F_{2y} - F_{1y} = gdm = \mu gdx$$ $$F(y'(x + dx) - y'(x)) = \mu gdx$$ $$F\frac{d^2y}{dx^2} = \mu g$$

Risolvere dà$$y = \frac{\mu g}{2F}x^2 + Ax + B$$

Sono nuovo del calcolo, quindi ho alcune domande, per favore spiega in un modo che un principiante possa capire, grazie!:

1. perché usiamo$dm = \mu dx$invece di$dm = \mu \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$qui? perché mi sembra così$\mu \cdot dx$non descrive la massa in un punto su una curva , ma$\mu \cdot ds$fa.
2. Non è una corda tenuta a entrambe le estremità chiamata catenaria che non è una parabola? allora perché in questo caso è una parabola? Quali sono le differenze tra una catenaria e questo grafico?

Potrei commettere alcuni errori concettuali molto basilari perché ora sto principalmente imparando da solo. Quindi per favore aiutami a chiarire il mio dubbio.

Answer 1

$$\newcommand{\md}{\mathrm{d}}$$Si hai ragione. Nel caso più generale, dobbiamo usare$\md m = \mu\, \md s$per la massa dell'infinitamente piccolo elemento della fune. In sostanza, ciò che l'equazione sta dicendo è che la massa della piccola sezione di fune è uguale alla massa per unità di lunghezza moltiplicata per la lunghezza della piccola sezione.

Non so da dove hai preso la derivazione, ma probabilmente hanno usato$\md m = \mu\, \md x$per la massa perché presumevano che la corda si afflosciasse molto poco. (Potrebbero anche averlo detto. Ti consiglierei di leggere attentamente la loro spiegazione per vedere quali ipotesi hanno fatto.)

Se la corda è quasi tesa (cioè poco o nessun cedimento), allora$\sqrt{1 + \left( \dfrac{\md y}{\md x}\right)^2}\, \md x \approx 1 \,\md x$, il che implica questo$\md s \approx \md x$.

Una catenaria è il nome dato alle equazioni della forma$$y = a\cosh \left(\dfrac{x}{a}\right)$$

dove$\cosh x$è la funzione coseno iperbolica, che è definita come$$\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$$

È diverso dalla parabola, come possiamo vedere dal grafico sottostante:

Nel grafico,$y = \cosh x$è mostrato in rosso e$y = x^2$è in blu.

Ecco un altro grafico che mostra come una parabola può essere un'approssimazione di una catenaria, se l'"abbassamento" è relativamente piccolo:

Qui,$y = \cosh x$è di nuovo in rosso, ma l'equazione della curva blu lo è$y = \dfrac{1}{2}x^2 + 1$. Come possiamo vedere, se$x$è vicino a$0$, allora la parabola è un'approssimazione ragionevolmente buona della catenaria.