Equazione per un luogo

Question

Mi chiedo come fare per trovare l'equazione che definisce questo luogo. In breve, il luogo è tutti i punti alla stessa distanza dal punto più vicino in poi$e^x - 1$ come $(0,1)$. Il setup in GeoGebra mi permette anche di cambiare facilmente la funzione da cui dipende, il che produce risultati molto interessanti per quasi tutte le funzioni (per una linea retta, produce una parabola).

Answer 1

La distanza da qualsiasi punto $P(x, y)$ sul luogo richiesto al punto fisso $Q(0, 1)$ è dato da $$PQ^2=x^2+(y-1)^2$$ La distanza dallo stesso punto $P(x, y)$ fino a un certo punto $T$ sulla curva data $(t, e^t-1)$ è dato da $$s=PT^2=(x-t)^2+z^2$$ dove $z=y-e^t+1$ quindi $y-1=z+e^t-2$.

Il punto $T$ è il più vicino a $P$ quando $s$ è un minimo wrt $t$ : $$\frac{ds}{dt}=2(x-t)(-1)+2z(-e^t)=0$$ $$x=t-ze^t$$

Il luogo richiesto è definito da $PQ^2=PT^2$ : $$x^2+(y-1)^2=(x-t)^2+z^2$$

Sostituto per eliminare $x, y$ lasciando un'equazione in $z, t$ : $$(t-ze^t)^2+(z+e^t-2)^2=z^2e^{2t}+z^2$$ $$t^2-2tze^t+e^{2t}+4-2(ze^t-2z-2e^t)=0$$ $$z=\frac{t^2+(e^t-2)^2}{2[(t-1)e^t+2]}$$

Le coordinate dei punti sul luogo possono essere ottenute in termini di parametri $t$ e $z(t)$ :

$$x=t-ze^t, y=z+e^t-1$$