Equazione quadratica con più parametri

Question

Ho la seguente equazione:

$$x^2 +mx+(a−m)^2 =0\text{ ($un$ be there as a fixed parameter)}$$

e devo calcolare per quali valori di $m$ l'equazione ha esattamente una soluzione per $x.$

So che devo guardare al valore di $m$ per cui il discriminante di questa equazione è uguale a $0.$ Ma ogni volta che sono andato su questa strada è rimasto bloccato.

Qualcuno può darmi qualche suggerimento che devo cercare o cercare quando provo a calcolarlo?

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Aggiunta:

Una cosa che mi sono dimenticato di menzionare è che l'obiettivo prima di tutto è trovare un valore per $m$ e successivamente per calcolare la soluzione (s) per $x$.

Answer 1

Per $Ax^2+Bx+C=0$ avere una sola soluzione, $B^2-4AC = 0$ o $B^2 = 4AC$.

Quindi abbiamo bisogno $m^2 = 4(a-m)^2 = (2(a-m))^2 \Rightarrow m = \pm(2a-2m) \Rightarrow \color{blue}{m =2a, \frac{2a}{3}}$

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Per calcolare la soluzione dell'equazione,

$Ax^2+Bx+C$ ha la somma delle radici $= \frac{-B}{A}$. Qui poiché il discriminante è zero, entrambe le radici sono uguali,$x_1 = x_2$.

Così, $2x_1 = -\frac{B}{A} = -m \Rightarrow \boxed{x_1 = x_2 =-\frac{m}{2}}$.

Le radici sono entrambe $\boxed{-a}$ o $\boxed{-\frac{a}{3}}$ corrisponde a $m=2a, \frac{2a}{3}$ rispettivamente.

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Grafico per soluzioni:

Corrisponde a $m=2a$ e $m=\frac{2a}{3}$

Answer 2

OK, calcola il discriminante: $$m^2-4(a-m)^2=(m+2(a-m))(m-2(a-m))=0$$ Questo è zero proprio quando uno dei due fattori è zero, quindi $$m+2(a-m)=0\implies m=2a$$ $$m-2(a-m)=0\implies m=\frac23a$$

Answer 3

$$x^2+mx+(a-m)^2=0.$$ Poiché le radici sono uguali, $$m^2-4(a-m)^2=0$$ $$m^2-(2a-2m)^2=0$$ $$(m+2a-2m)(m-2a+2m)=0$$ $$m=\frac{2a}{3},2a.$$ Inserendo questi valori di m nell'equazione originale, otteniamo due equazioni quadratiche. $$x^2+2ax+a^2=0$$ e $$9x^2+6ax+a^2=0$$Ora puoi trovare le radici di queste equazioni dalle formule di Vieta .

Le radici di queste equazioni sono $-a$ e $\frac{-a}{3}$.

Answer 4

$A^2-B^2 =(A+B)(A-B)$, dove $A=m$, $B=2(a-m)$. Hai capito?

Answer 5

Come hai detto, la condizione è che il discriminante sia $0$. In questo caso il discriminante è$-4 a^2 + 8 a m - 3 m^2$. È un quadratico in$m$: puoi risolverlo?