Esercizio su set aperti e chiusi

Question

Tener conto di $\Bbb R^2$con la solita topologia. Permettere$X$ essere il set $X=(1,2) \times \Bbb Z$ e $B=\left \{ (x,0): 1<x<2 \right \}$. Prova che$B$ è aperto e chiuso $X$.

La mia soluzione è: da allora $X= \emptyset$ ce l'abbiamo $B$ è chiuso, perché $B^c=\emptyset$ nel $X$, che è aperto (e chiuso). Ma$B$ è aperto anche in $X$ perché $B^c$ è chiuso $X$.

Il mio ragionamento ha senso?

Answer 1

Penso che tu abbia frainteso le definizioni - $X$ non è il vuoto, è il sottoinsieme di $\Bbb{R}^2$ di tutte le coppie ordinate $(x,y)$ tale che $x\in (1,2)$ (es $1<x<2$) e $y\in \mathbb{Z}$. Adesso,$B$ è il sottoinsieme di $X$ di tutte le coppie ordinate $(x,y)$ tale che $1<x<2$ e $y=0$. In altre parole,$B=(1,2)\times \{0\}$. Da$(1,2)$ è aperto in $(1,2)$ e $\{0\}$ è aperto in $\mathbb{Z}$, $B=(1,2)\times \{0\}$ è aperto in $X=(1,2)\times \mathbb{Z}$. D'altra parte, il complemento di$B$ è $B^c=(1,2)\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$; di nuovo, da allora$(1,2)$ è aperto in $(1,2)$ e $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ è aperto in $\mathbb{Z}$, lo capiamo $B^c=(1,2)\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ è aperto in $X$, e quindi $B$ è chiuso $X$.

È più chiaro adesso?