Forma generale di centralizzatore

Question

Se diciamo $B = J_{a_1}(\lambda_1) \oplus J_{a_2}(\lambda_2) ... \oplus J_{a_n}(\lambda_n)$ Sto cercando di trovare la forma generale del centralizzatore di $B$. Prima quando i nostri lambda sono distinti, ma poi anche quando non lo sono e qual è la dimensione in ciascuno dei casi.

Quindi so che B dovrebbe essere un file $\sum a_i \times \sum a_i $ matrice con voci $\lambda_i$ sulle diagonali ma poi non sono sicuro di come trovare il centralizzatore per ogni caso?

Non sono proprio sicuro di come iniziare e se qualcuno potesse indicarmi una buona direzione sarebbe apprezzato.

Answer 1

Userò il linguaggio dei moduli.

Una scelta di operatore lineare $A$ su uno spazio vettoriale $V$ è equivalente a fare $V$ un $\mathbb{C}[T]$-modulo, dove $T$ agisce dall'operatore $A$. Da$\mathbb{C}[T]$ è un PID, si applica il teorema fondamentale dei moduli finitamente generati sui PID, quindi possiamo dire $V$ è isomorfo come a $\mathbb{C}[T]$-modulo a una somma diretta di sottomoduli ciclici, e moduli ciclici (dal Teorema cinese del resto) sono WLOG della forma $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d$. Se scriviamo la matrice per la moltiplicazione per$T$ su un tale modulo rispetto alla base di potenza $\{1,T,\cdots,T^{d-1}\}$ otteniamo il file $d\times d$ Blocco di Jordan associato all'autovalore generalizzato $\lambda$. Il componente contenente tutti gli addendi diretti (o equivalentemente tutti i sottomoduli ciclici) con un dato valore di$\lambda$ forma l'autospazio generalizzato di $V$ associato a $\lambda$.

Il centralizzatore di $A$ corrisponde a trovare gli endomorfismi di $V$ come un $\mathbb{C}[T]$-modulo.

Nota che $\hom$ è distributivo, qualsiasi elemento di $\hom(\bigoplus V_i,\bigoplus V_j)$ può essere scritto come una matrice il cui $ij$-entry è un omomorfismo $V_i\to V_j$. Quindi, per trovare il modulo endomorfismi di$V$, dobbiamo semplicemente determinare tutti i possibili omomorfismi dei moduli $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d\to \mathbb{C}[T]/(T-\mu)^k$. Una mappa del genere lo è$T$-equivariante e il suo intervallo è il sottomodulo ciclico generato dall'immagine di $1$. L'unica condizione è quella$1$ deve essere inviato a un elemento annichilito da $(T-\lambda)^d$. O$k\le d$ o questo significa $1$ viene inviato a qualcosa nel sottomodulo ciclico $(T-\lambda)^{k-d}$ che ha dimensione $d$ entro $(T-\lambda)^k$. Quindi, lo spazio vettoriale degli omomorfismi dei moduli è$\min\{d,k\}$ Se $\lambda=\mu$, altro $0$.

Quindi se i blocchi Jordan associati a $\lambda$ hanno dimensioni $d_1\ge d_2\ge\cdots\ge d_n$ allora la dimensione dell'algebra / centralizzatore dell'endomorfismo è $\sum_{i,j}\min\{d_i,d_j\}$ che è la somma dei termini nella matrice

$$ \begin{array}{cccc} d_1 & d_2 & \cdots & d_n \\ d_2 & d_2 & \cdots & d_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_n & d_n & \cdots & d_n \end{array} $$

che è uguale a $\sum_{j=1}^n (2j-1)d_j$.

In generale, prendiamo questa somma per ogni autovalore generalizzato $\lambda$ e combinare.

Per descrivere l'algebra centralizzatrice / endomorfismo come un'algebra, scomporla prima come somma diretta di sottoalgebre associate a ciascuna $\lambda$, quindi scrivi gli elementi di queste sottoalgebre come matrici le cui voci sono elementi di moduli quozienti $(T-\lambda)^{k-d}/(T-\lambda)^k$ (interpretando $k-d$ come $0$ Se $k\le d$) per le varie scelte di $d$ e $k$.

Ecco un esempio. Considera una matrice con decomposizione di Jordan

$$ \color{Red}{J_1(0)\oplus J_1(0)\oplus J_2(0)}\oplus \color{Green}{J_3(i)\oplus J_4(i)} \oplus \color{Blue}{J_5(\omega)} $$

• Associato a $\color{Red}{\lambda=0}$ è $2\ge1\ge1$ con somma $\sum_{j=1}^3 (2j-1)d_j=(1)2+(3)1+(5)1=\color{Red}{10}$.
• Associato a $\color{Green}{\lambda=i}$ è $4\ge3$ con somma $\sum_{j=1}^2(2j-1)d_j= (1)4+(3)3=\color{Green}{13}$.
• Associato a $\color{Blue}{\lambda=\omega}$ è $5$ con somma $\sum_{j=1}^1 (2j-1)d_j=(1)5=\color{Blue}{5}$.

Così il centralizzatore completo ha dimensione $\color{Red}{10}+\color{Green}{13}+\color{Blue}{5}=28$.

Answer 2

Il risultato in termini di matrici è ben noto tra i ricercatori. L'ho anche visto documentato in un libro di testo universitario, ma non ricordo il titolo del libro.

Supponiamo $B$ è la somma diretta di $r$ La Giordania si forma $J_1,J_2,\ldots, J_r$, ciascuno con un diverso autovalore e supponiamo ogni forma di Jordan $J_k$ ha $b_k$ Jordan blocca per l'autovalore $\lambda_k$ di molteplicità $m_{k1}\ge m_{k2}\ge\cdots\ge m_{kb_k}$rispettivamente. Cioè, supponiamo$$ B=\bigoplus_{k=1}^rJ_k=\bigoplus_{k=1}^r\underbrace{\left(J(\lambda_k;m_{k1})\oplus\cdots\oplus J(\lambda_k;m_{kb_k})\right)}_{J_k}\tag{1} $$ dove $J(\lambda;m)$ denota un blocco Jordan triangolare superiore con un autovalore $\lambda$ di molteplicità $m$.

Ad esempio, in $9\times9$ Modulo Jordan $B$ di seguito, abbiamo $J_1=J(1;3)\oplus J(1;2)$ e $J_2=J(0;2)\oplus J(0;1)\oplus J(0;1)$. $$ B=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \hline &&&1&1\\ &&&0&1\\ \hline &&&&&0&1\\ &&&&&0&0\\ \hline &&&&&&&0\\ \hline &&&&&&&&0 \end{array}\right]. $$ L'equazione $BA=AB$ si riduce così a blocchi alle equazioni della forma $$ J(\lambda;m)X=XJ(\mu;n) $$ per un $m\times n$ matrice $X$. Assumilo$m\ge n$ (il caso $n\le m$può essere trattato in modo simile). Sottraendo entrambi i lati di$\mu I$, noi abbiamo $J(\lambda-\mu;m)X=XJ(0;n)$. quando$\lambda\ne\mu$, noi abbiamo $J(\lambda-\mu;m)^nX=XJ(0;n)^n=0$ e quindi $X$deve essere zero. quando$\lambda=\mu$, we have $J(0;m)X=XJ(0;n)$. In particular, we obtain two equalities: \begin{align} x_{i+1,j+1}=e_i^TJ(0;m)Xe_{j+1}&=e_i^TXJ(0;n)e_{j+1}=x_{ij},\\ J(0;m)Xe_1&=XJ(0;n)e_1=0.\\ \end{align} The first one means that $X$ is Toeplitz while the second one means that the up shift of the first column of $X$ is zero. It folows that all entries below the main diagonal of $X$ are zero, i.e. $X$ is an upper triangular Toeplitz matrix. Conversely, one may verify that every upper triangular Toeplitz matrix $X$ satisfies the equation $J(0;m)X=XJ(0;n)$.

Therefore, the solutions to $BA=AB$ has the general form $\bigoplus_{k=1}^rM_k$, where each $M_k$ has the same size as $J_k$, and, when it is partitioned in the same way as $J_k$ (so that the diagonal sub-blocks of $M_k$ has sizes $m_{k1},\ldots,m_{kb_k}$ respectively), its $(i,j)$-th sub-block is an upper triangular Toeplitz matrix in the form of $$ M_{kij}=\begin{cases} \pmatrix{T_{kij}\\ 0}&\text{when } m_{ki}>m_{kj},\\ T_{kij}&\text{when } m_{ki}=m_{kj},\\ \pmatrix{0&T_{kij}}&\text{when } m_{ki}<m_{kj},\\ \end{cases}\tag{2} $$ where $T_{kij}$ denotes an upper triangular Toeplitz square matrix of size $\min(m_{ki},m_{kj})$.

For instance, the centralisers of our previous $9\times9$ example have the following general form: $$ A=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} a&b&c&d&e\\ 0&a&b&0&d\\ 0&0&a&0&0\\ \hline 0&f&g&h&l\\ 0&0&f&0&h\\ \hline &&&&&p&q&s&t\\ &&&&&0&p&0&0\\ \hline &&&&&0&u&v&w\\ \hline &&&&&0&x&y&z\\ \end{array}\right]. $$ With $(1)$ and $(2)$, the dimension of the centraliser subspace is given by $$ \sum_{k=1}^r\sum_{i,j=1}^{b_k} \min (m_{ki}, m_{kj}) =\sum_{k=1}^r\sum_{i=1}^{b_k}(2i-1)m_{ki}, $$ which is equal to $(1\times3+3\times2)+(1\times2+3\times1+5\times1)=19$ in the above example.