Formula per prodotto incrociato
La formula per il prodotto incrociato di due vettori in $R^3$, $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ e $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ è $$\det\begin{pmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ a_1 & a_2 & a_3\\\ b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}$$
So che in generale per tre vettori 3D il determinante rappresenta il volume del parallelepipedo. Ma come è valido mettere vettori (base)$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$in un vettore, e quale significato grafico / intuitivo ha? Quale sarebbe stata la motivazione iniziale di questa formula?
Nota: ho già letto domande simili e risposte corrispondenti, ma non ero soddisfatto. Quindi per favore non sottovalutare questa domanda e, se possibile, dammi qualche idea.
Risposte
Ho collegato un video nei commenti sopra, ma riassumerò le idee dal video in questa risposta. Abbiamo 2 domande a cui rispondere:
- Perché ha senso mettere $\mathbf{i,j,k}$ in un determinante?
- In che modo ciò si traduce in un vettore con le proprietà geometriche del prodotto incrociato?
Per cominciare, affermo che la forma "naturale" del prodotto incrociato non è quella di un vettore, ma quella di una funzione. Dati due vettori$\mathbf a, \mathbf b$, il prodotto incrociato è in realtà la funzione $f_{\mathbf a,\mathbf b}: \Bbb R^3 \to \Bbb R$ definito da $$ f_{\mathbf a,\mathbf b}(\mathbf x) = \det\pmatrix{x_1 & x_2 & x_3\\a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3}. $$ In altre parole, $f_{\mathbf a, \mathbf b}$ è una funzione che prende come input un vettore $\mathbf x = (x_1,x_2,x_3)$, e poiché la sua uscita produce il volume del parallelepipedo con i bordi $\mathbf{a,b,x}$. È facile pensare a questa funzione come a un vettore perché è una funzione lineare e ogni funzione lineare$f:\Bbb R^3 \to \Bbb R$ può essere scritto nel modulo $$ f(\mathbf x) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3. $$ Il vettore $\mathbf p = (p_1,p_2,p_3)$ può essere pensato come un modo per "codificare" la funzione $f$, dal momento che abbiamo $f(\mathbf x) = \mathbf p \cdot \mathbf x$, dove $\cdot$denota un prodotto puntuale. Questo porta alla nostra risposta alla domanda 1: quando calcoliamo il determinante con$\mathbf {i,j,k}$ ha le voci della riga superiore, si finisce con un vettore $p_1 \mathbf i + p_2 \mathbf j + p_3 \mathbf k$. I vettori$\mathbf{i,j,k}$ fungono da segnaposto per le nostre coordinate di input $x_1,x_2,x_3$: se calcoliamo $\mathbf p \cdot \mathbf x$, finiamo con $$ p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3, $$ che è esattamente ciò che avremmo ottenuto se avessimo calcolato il determinante con le voci di $\mathbf x$ come la nostra riga superiore, cioè se abbiamo calcolato $f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x)$ dalla definizione che ho dato sopra.
Per quanto riguarda la domanda 2, possiamo fare le seguenti osservazioni:
- Se $\mathbf x$ è l'uno o l'altro $\mathbf a$ o $\mathbf b$, poi $\mathbf p \cdot \mathbf x = f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x) = 0$. Così,$\mathbf p$ è ortogonale ad entrambi $\mathbf a$ e $\mathbf b$.
- Se colleghiamo $\mathbf x = \mathbf p/\|\mathbf p\|$, quindi dovremmo trovarlo $\mathbf p \cdot \mathbf x = \frac{\mathbf p \cdot \mathbf p}{\|\mathbf p\|} = \|\mathbf p\|$. Dalla positivività del determinante, vediamo che la direzione di$\mathbf p$ è tale che $\mathbf p, \mathbf a, \mathbf b$forma un sistema destrorso. Dal fatto che$f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x) = \|\mathbf p\|$, possiamo dedurlo $\|\mathbf p\|$ è uguale all'area del parallelogramma con i bordi $\mathbf a, \mathbf b$.
Con questo, deduciamo le proprietà del prodotto incrociato: $\mathbf p = \mathbf a \times \mathbf b$ è sempre ortogonale a $\mathbf a , \mathbf b$. quando$\mathbf p \neq \mathbf 0$, $\mathbf p$ punta nella direzione tale $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf p$forma una base destrorsa. Finalmente,$\|\mathbf p\|$ è l'area del parallelogramma con i lati $\mathbf a, \mathbf b$.
Come hanno sottolineato diversi commenti, quello che hai scritto è un espediente mnemonico, non una vera formula. Ecco una vera formula, con lo stesso spirito.$$\eqalign{ \vec a\times \vec c &= &{\bf i}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf i&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ &+ \;&{\bf j}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf j&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ &+ &{\bf k}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf k&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ }$$