Integrazione stocastica per parti per processi random point
Sto cercando di capire questa prova della seguente specifica integrazione per parti.
introduzione
Permettere $\Omega=Point_{\mathbb{R}}$ l'insieme delle distribuzioni di punti in $\mathbb{R}^3$ (cioè un elemento $w \in \Omega$ è un sottoinsieme localmente finito di $\mathbb{R}^3$). Dotiamo questo spazio di una tribù canonica$\mathcal{A}$ e una probabilità $\mathbb{P}$.
Permettere $\phi : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^3$una funzione misurabile. Per$w \in \Omega$, definiamo la realizzazione di$\phi$ la mappatura $R_\omega[\phi] : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ :
$$R_\omega[\phi](y):=\phi(y+w)=\phi(\tau_yw), \quad y \in\mathbb{R}^3$$ dove $\tau_y :\Omega \rightarrow \Omega$ è l'applicazione del turno (che è misurabile in questo caso).
Permettere $\varphi : \Omega \rightarrow\mathbb{R^3}$ una funzione regolare e $w \in \Omega$, definiamo il gradiente stocastico di$$\bar{\nabla}(\varphi)(\omega):=\nabla (t \mapsto \varphi(t+w))(0).$$ dove $\nabla$è il gradiente spaziale regolare. Usando questa definizione, definiamo la derivata parziale$\bar{\partial}_i$.
l'integrazione per parti
Permettere $u,v$ leviga le funzioni da $\Omega$ per $\mathbb{R}^3$. Secondo il testo che sto leggendo, abbiamo la seguente integrazione per parti:$$\mathbb{E} \left[ \bar{\partial}_iu v\right]=-\mathbb{E} \left[ u \bar{\partial}_i v\right]$$ La prova inizia con la seguente uguaglianza, che sto lottando per capire: \begin{aligned} \mathbb{E} \left[\bar{\partial}_iu v\right]= \mathbb{E} \left[\int_{K_1} \partial_i R_\omega[u](y) \ R_\omega[v](y) \ \mathrm{d}y\right] \quad \quad (\star) \end{aligned} con $K_1=\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]^3$. Quindi, possiamo usare la normale formula di integrazione per parti per il file$K_1$ integrale, che ci dà:
$$- \mathbb{E} \left[\int_{K_1} R_\omega[u](y) \ \partial_i R_\omega[v](y) \ \mathrm{d}y\right]+ \underbrace{\mathbb{E} \left[\int_{ \partial K_1} n_i R_\omega[u](y) \ R_\omega[v](y) \ \mathrm{d}y \right]}_{:=A}$$ e poi si dice così $A=0$. Il resto della prova segue facilmente usando$(\star)$ ancora.
Le mie domande
- Da dove viene la prima uguaglianza $(\star)$ viene da ?
- Perché lo abbiamo $A=0$? Nel solito caso è perché le funzioni di test hanno un loro supporto incluso in una compatta, ma qui non abbiamo tale ipotesi.
Qualsiasi aiuto o suggerimento è il benvenuto!
Risposte
Effettivamente è necessario aggiungere un'ipotesi affinché il risultato valga.
Dobbiamo presumere che l'applicazione cambi $\tau_y : \Omega \rightarrow \Omega$ è $\mathbb{P}$ preservando per qualsiasi vettore $y \in \mathbb{R}^3$. Usando questa ipotesi di stazionarietà, vediamo che:
$$\mathbb{E}\left[ \bar{\partial}_i v u \right]= \mathbb{E}\left[ \bar{\partial}_i (v \circ \tau_y) \ (u \circ \tau_y) \right], \quad \forall y \in \mathbb{R}^3. $$
Integrare questa uguaglianza finita $y$ sul dominio $K_1$ che ha una misura di Lebesgue uguale a 1, otteniamo dal teorema di Fubini l'uguaglianza $(\star)$.
Un argomento simile sull'integrale al contorno ci lascia con $A=\mathbb{E}[uv] \int_{\partial K_1} n_i$, ed è ben noto che quest'ultimo integrale vale $0$, quindi $(\star \star)$.