Interscambio integrale con operatori reali e immaginari?

Question

$$ \int \sin(3x) \cos(nx) dx \to \Re \int \sin(3x) e^{inx} dx$$

$$ \sin(3x) \to \Im e^{i3x}$$

Quindi,

$$ \Re \left( \Im \int e^{i(3+n)x} dx \right) $$

O,

$$ \Re \left(\Im \frac{e^{i(3+n)}}{i(3+n)} \right) \to \Re \left(\Im \frac{-ie^{i(3+n)}}{(3+n)} \right)$$

Considerando,

$$ \Im \frac{-ie^{i(3+n)}}{(3+n)} \to -\frac{\cos(3+n)}{3+n}$$

Quindi,

$$ \int \sin(3x) \cos(nx) dx = - \frac{ \cos(3+n)}{3+n}$$

Ora questo è sbagliato .. perché? Btw sto usando il risultato da qui

Answer 1

Hai davvero

$$\sin 3x = \Im e^{i3x}$$ E quindi:

$$(\sin 3x) e^{inx} = (\Im e^{i3x}) e^{inx}$$ e $$\Re[(\sin 3x) e^{inx}] = \Re[(\Im e^{i3x}) e^{inx}]$$ che non è uguale a $$\Re[\Im (e^{i(3+n)x})]$$

In generale per due numeri complessi

$$\Im(zz^\prime) \neq \Im(z) z^\prime$$

Esempio

$$\Im( i \cdot i) = 0 \neq i = \Im(i) \cdot i$$

Answer 2

Come ha notato @MarkViola, il problema non ha nulla a che fare con il calcolo, solo con il modo in cui manipoli numeri complessi. Vale a dire, con$w:=\exp3ix,\,z:=\exp inx$ sembri discutere $\Im w\Re z=\Re\Im(wz)$ (che sarebbe $\Im(wz)$, a proposito). Ma$$w=a+ib,\,z=c+id,\,a,\,b,\,c,\,d\in\Bbb R\implies\Im w\Re z=bc,\,\Im(wz)=ad+bc.$$Il problema originale può essere risolto senza numeri complessi utilizzando$$2\sin3x\cos nx=\sin[(n+3)x]-\sin[(n-3)x].$$