Limita per coordinate polari

Question

Ciao, ho bisogno di aiuto con questo limite: $$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}$$ Ho usato le coordinate polari e ho capito $$ \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}= \frac{r^3\cdot(\cos φ)^4 \sin φ } {1+ (\cosφ)^2+\sin(2φ)} $$ Non sapevo come procedere da questo.

Answer 1

$(x,y) \mapsto (r cos\phi, r sin\phi)$. Cosi quando$(x,y) \to (0,0)$ equivale a dirlo $r\to 0$. Quindi, il limite sarebbe zero dal momento che hai$r^3$ al numeratore.

Answer 2

In alternativa, senza coordinate polari, da allora $(x+y)^2 \ge 0$, ce l'abbiamo

$$x=0 \,(y\neq 0)\implies \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}=0$$

$$x\neq 0 \implies \left|\frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}\right|\le\left|\frac{x^4y}{x^2}\right| =x^2|y| \to 0$$

Nota che usando le coordinate polari, per concludere di nuovo con il teorema di compressione, dobbiamo dimostrarlo

$$f(\theta)=\frac{(\cos φ)^4 \sin φ } { (\cosφ)^2+2\sin φ\cos φ +1}$$

è limitato, il che porta allo stesso metodo precedente.