Limiti e doppio integrale?

Question

Determina il doppio integrale $\int \int_{R} ye^y dxdy$, dove $R$ è $1\leq x-y \leq 2,\ 1 \leq xy \leq 2$

Ho difficoltà a capire come dovrei pensare per ottenere i limiti.

$x\ne y$ perché $1\leq xy \leq 2$.

$x$ deve essere almeno 1 maggiore di allora $y$ perché $\ 1 \leq x-y \leq 2$.

Questo dammi $\begin{matrix} x &y \\ 2 & 1 \\ \end{matrix}$

Posso quindi dire che i limiti sono $0 \leq y \leq 1, 0\leq x\leq 2y$ ?

Answer 1

Devi integrare più di due regioni. I punti di intersezione sono

$(\frac{\sqrt5 + 1} {2}, \frac{\sqrt5 - 1} {2}), (2, 1), (\sqrt3 + 1, \sqrt3 - 1), (\sqrt 2 +1, \sqrt2 - 1)$

$(\frac{-\sqrt5 + 1} {2}, \frac{-\sqrt5 - 1} {2}), (-1, -2), (-\sqrt3 + 1, -\sqrt3 - 1), (-\sqrt 2 +1, -\sqrt2 - 1)$

Answer 2

Abbiamo quello $R$ corrisponde alla striscia tra le righe

• $y=x-2$
• $y=x-1$

e le iperbole

• $y=2/x$
• $y=1/x$

Un modo per procedere è trovare i punti di intersezione per queste regioni e quindi integrarli di conseguenza per ciascuna parte.