Localmente e numerabilmente compatto $T_1$ lo spazio è normale

Question

Uno spazio è localmente compatto se ogni punto ha un quartiere compatto; è numerabile compatto se è l'unione di un numero numerabile di insiemi compatti.$T_1$ è equivalente al fatto che ogni singleton è un insieme chiuso, mentre uno spazio normale separa i suoi insiemi chiusi disgiuntivi con quartieri aperti disgiuntivi.

Usando quelle definizioni si afferma che localmente e numerabilmente compatto $T_1$lo spazio è normale. Non sono riuscito a trovare una prova per questo oa derivarne una.

Answer 1

Non hai trovato il risultato perché la tua definizione di compatto numerabile non è quella classica. Ciò che dichiari di essere numerabilmente compatto viene indicato come$\sigma$-compatto. Qui puoi trovare la prova che mai localmente compatto e$\sigma$-lo spazio compatto è paracompatto e, quindi, normale per il teorema di Dieudonné.

https://ncatlab.org/nlab/show/locally+compact+and+sigma-compact+spaces+are+paracompact

Tuttavia, ricontrolla se la loro definizione di compattezza locale corrisponde alla tua (di solito ci sono molte definizioni, ma sono tutte d'accordo quando lo spazio topologico è $T_2$).

Answer 2

Questo è falso come affermato:$X=\Bbb N$ nella topologia cofinite è $T_1$, compatto (quindi sicuramente "numerabile compatto" (nella tua definizione, è meglio usare il più standard $\sigma$-compatto) e "localmente compatto") ma non normale in quanto non è nemmeno Hausdorff.

Diventa vero se cambiamo $T_1$ a Hausdorff, però.