Logica del predicato e inferenza

Question

Supponiamo che di seguito siano presentati tre predicati dati:

$H(x)$: $x$ è un cavallo

$A(x)$: $x$ è un animale

$T(x,y)$: $x$ è una coda di $y$

Quindi, traduci la seguente inferenza in un'inferenza utilizzando espressioni logiche del predicato e dimostra se l'inferenza è valida o meno (ad esempio, utilizzando la deduzione naturale):

I cavalli sono animali.

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Le code dei cavalli sono code di animali.

I miei pensieri: sono abbastanza bravo a tradurre espressioni logiche dei predicati, ma qui ho faticato a trovare una formula per le code dei cavalli. La mia idea iniziale era di considerare frasi simili come "w è la coda di un cavallo" per formare l'inferenza richiesta, ma non ha avuto successo. Sarei il benvenuto per ascoltare le tue idee su questo compito.

Answer 1

Come suggerito correttamente in Lemontree's https://math.stackexchange.com/a/3840664/288417, "Le code dei cavalli sono code di animali" può essere formalizzato come $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to A(y) \big)$ o più precisamente, $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$.

Naturalmente, l'argomento

$\frac{\text{Horses are animals}}{\text{Horses' tails are tails of animals}} \quad \text{i.e.} \quad \frac{\forall y (H(y) \to A(y))}{\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)}$

è valido. Per prima cosa, te ne do una prova informale.

Vogliamo dimostrarlo $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$, sotto l'ipotesi $\forall y (H(y) \to A(y) )$. Quindi, correggiamo individui arbitrari$x$ e $y$ e supponiamo che $H(y) \land T(x,y)$, dobbiamo dimostrarlo $A(y) \land T(x,y)$. Dal momento che per ipotesi$\forall y (H(y) \to A(y) )$, quindi $H(y) \to A(y)$ vale per il particolare $y$abbiamo scelto. Inoltre, lo supponiamo$H(y) \land T(x,y)$ e in particolare $H(y)$tiene. Di modus ponens , da$H(y) \to A(y)$ e $H(y)$ ne consegue che $A(y)$. Inoltre, poiché lo stiamo supponendo$H(y) \land T(x,y)$, in particolare $T(x,y)$tiene. Così,$A(y) \land T(x,y)$. Pertanto, lo abbiamo dimostrato, per arbitrario$x$ e $y$, Se $H(y) \land T(x,y)$ poi $A(y) \land T(x,y)$. Quindi,$\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$ tiene, sotto l'ipotesi $\forall y (H(y) \to A(y))$.

Puoi formalizzare questa prova in deduzione naturale come segue:

$$ \dfrac {\dfrac {\dfrac {\dfrac{\dfrac{\forall y (H(y) \to A(y))}{H(y) \to A(y)}\forall_\text{elim} \qquad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{H(y)}\land_\text{elim}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{A(y)}\to_\text{elim} \quad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{T(x,y)}\land_\text{elim}} {A(y) \land T(x,y)}\land_\text{intro}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {(\!\!\!\!\!\!\!\!H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))} \to_\text{intro}^*\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {\dfrac {\forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} {\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} \forall_\text{intro} } \forall_\text{intro} $$

Answer 2

Suggerimenti:

"$x$ è un $P$'s coda "significa questo $x$ è una coda di $y$ e $y$ è un $P$.

"Le code dei cavalli sono code di animali" significa che per tutte le code $x$ e portatori di coda $y$, la coda essendo la coda di un cavallo implica che la coda sia la coda di un animale (dove per "essere a $P$'s tail "inserire la definizione sopra).

Con l'opportuna formalizzazione di questa parafrasi, è possibile trovare una prova formale dell'inferenza.