$\mathbb{P}(X>Y)$ e distribuzione uniforme

Question

Non capisco perché, per un triangolo definito su $(0,0)$,$(0,2)$ e $(2,0)$ e una densità congiunta $f_{XY}(x,y)=\frac{1}{2}$, Io ottengo:

• $\mathbb{P}(X>Y)=f_{XY}(x,y)\cdot($area del triangolo $(0,0)$,$(2,0)$ e $(1,1))=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$

• $\mathbb{P}(X>Y)=\int_{0}^{2}[\int_{0}^{2-x}f_{XY}(x,y)\operatorname{dy}]\operatorname{dx}=1$

Dove mi sbaglio se lo abbiamo fatto $0<y<x<2$?

Grazie in anticipo per qualsiasi chiarimento.

Answer 1

Dove mi sbaglio se abbiamo 0 <y <x <2?

Come ti ho detto, in ogni caso un disegno può aiutare

Il tuo scopo è integrare il denisty congiunto sul triangolo viola. In questo caso il miglior ordine di integrazione è "Y-simple"

$$\mathbb{P}[X>Y]=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{2-y}dx=\frac{1}{2}$$

Answer 2

Hai bisogno $y$ essere inferiore a $x$ e meno di $2-x$o in altre parole $y< \min(x,2-x)$. Quindi l'integrale corretto è \ begin {align *} \ mathbb {P} (X> Y) & = \ int_0 ^ 2 \ int_0 ^ {\ min (x, 2-x)} f (x, y) \: dy \: dx \\ & = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ xf (x, y) \: dy \: dx + \ int_1 ^ 2 \ int_0 ^ {2-x} f (x, y) \: dy \: dx \\ & = \ int_0 ^ 1 \ frac {x} {2} \: dx + \ int_1 ^ 2 \ frac {2-x} {2} \: dx \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align *}