Moti browniani

Question

Se $A_t$ e $B_t$ sono moti browniani indipendenti e $a$ è un numero, possiamo dirlo $(\sin a )A_t+ (\cos a) B_t$ è anche un moto browniano?

Answer 1

Se $A_t$ e $B_t$ sono moti browniani indipendenti, quindi $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ è un processo gaussiano centrato (a causa dell'indipendenza, $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ ha la legge $N(0,(\sin(a)^2+\cos(a)^2)t)=N(0,t)$ a fisso $t$) e la covarianza del processo è

$$K(s,t)=\operatorname{Cov}(\sin(a)A_s+\cos(a)B_s,\sin(a)A_t+\cos(a)B_t)=\sin(a)^2s\wedge t+\cos(a)^2s\wedge t+0=s\wedge t$$

dove il $s\wedge t$ (minimo di $s$ e $t$) deriva dal fatto che $A_t$ e $B_t$ sono i moti browniani e il $0$ deriva dal fatto che $A_t$ e $B_s$ sono indipendenti.

Lo abbiamo dimostrato $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ è un processo gaussiano centrato con covarianza $K(s,t)=s\wedge t$. Ovviamente le traiettorie sono ancora continue poiché la moltiplicazione per una costante preserva la continuità e la somma di due funzioni continue è continua. Questo caratterizza il moto browniano, quindi sì, questo è sicuramente ancora una volta un moto browniano.