Notazione per Ring Extension

Question

Se $K$ è un'estensione di campo di un campo $F$ (questo è, $F\subseteq K$), scriviamo $K/F$. Ma se$R$è un'estensione dell'anello dell'anello$S$ (questo è, $S\subseteq R$), qual è la notazione equivalente? Scriviamo$R/S$ come faremmo per i campi o è qualcosa di simile $R\supseteq S$ più appropriato?

Answer 1

Non sono a conoscenza di alcuna definizione generalmente accettata di "estensione dell'anello" senza ulteriori qualificazioni. Quando si va oltre il caso dei campi è molto meno chiaro che "un'iniezione$S \to R$"è la nozione corretta di" estensione dell'anello ". Da un lato potresti voler discutere una mappa arbitraria $f : S \to R$, non necessariamente iniettiva; equivalentemente, potresti volerlo$R$ essere un arbitrario $S$-algebra. Questa è la cosa più generale che potresti chiedere e ha delle proprietà categoriche piacevoli. D'altra parte potresti voler richiedere varie proprietà della mappa$f$: per esempio, quello è

• integrale (che generalizza le estensioni algebriche)
• flat (automatico se$S$ è un campo)
• fedelmente piatto (varie proprietà carine)
• etale (anche proprietà molto belle ma molto restrittive)

e tante altre possibilità. Inoltre non sono a conoscenza della notazione per nessuno di questi. La gente dice solo "lascia$f : S \to R$ essere (qualunque cosa). "(Inoltre, sarebbe standard scrivere $f : R \to S$ Qui.)