ODE in variabile $r$

Question

Sono sicuro che questa sia una domanda semplice ma avrò bisogno di aiuto.

Durante il tentativo di risolvere una PDE utilizzando la separazione delle variabili, mi sono imbattuto in un'ODE.

Voglio risolvere la seguente ODE: $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

La soluzione è $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

Viene verificato quando lo si collega, ma come si ottiene effettivamente la soluzione?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ Riscriverlo come: $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ Ora risolvilo come: $$y''+\lambda^2y=0$$ Dove $y=rR(r)$. È solo un'equazione differenziale lineare del secondo ordine che è facile da risolvere.