operatore debolmente continuo vs debolmente sequenzialmente continuo

Question

Sto leggendo alcuni articoli in cui la condizione di debole continuità sequenziale è cruciale e mi viene in mente questa domanda:

Perché è più interessante utilizzare questa condizione invece della classica continuità debole?

Contesto:

• $T$ tra uno spazio di Banach X e se stesso.
• $T$ è debolmente sequenzialmente continuo se per qualsiasi $(x_n)_{n\in \mathbb N}$, $x_n \stackrel{w}{\rightharpoonup}x$ nel $X$ $\Rightarrow$ $T(x_n) \stackrel{w}{\rightharpoonup } T( x )$ nel $X$).

Answer 1

Teorema . Permettere$X$ e $Y$ siano spazi vettoriali normati e sia $T:X\to Y$essere una mappa lineare. Quindi i seguenti sono equivalenti:

1. $T$ è continuo,
2. $T$ è debolmente continuo,
3. $T$ è sequenzialmente debolmente continuo,
4. Per ogni sequenza $\{x_n\}_{n\in {\bf N}}$ nel $X$ che è debolmente convergente a $0$, si può trovare una sottosequenza debolmente convergente $\{T(x_{n_k})\}_{k\in {\bf N}}$.

Prova . Le implicazioni (1)$\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (4) sono banali, quindi proviamo che (4) $\Rightarrow$(1). Discutere per contraddizione presumo che$T$ non è continuo, quindi illimitato sulla palla unitaria di $X$. Quindi possiamo trovare una sequenza$\{y_n\}_{n\in {\bf N}}$ in quella palla tale che $\Vert T(y_n)\Vert >n^2$, per ogni $n$. Ambientazione $x_n=y_n/n$, ce l'abbiamo $x_n\to 0$ nella norma, così anche debolmente, mentre $$ \Vert T(x_n)\Vert = {1\over n} \Vert T(y_n)\Vert > {1\over n}n^2 = n, $$ quindi nessuna sottosequenza di $\{T(x_n)\}_{n\in {\bf N}}$è debolmente convergente perché le sequenze debolmente convergenti sono limitate (da un ben noto Corollario del principio di limitatezza uniforme). Questo contraddice (4), quindi la dimostrazione è completa. QED