Operatore integrale compatto?

Question

Mi sono imbattuto in un interessante operatore lineare. Non sono sicuro che sia compatto:$$ T: L^2([0, 1]) \rightarrow L^2([0, 1]), \quad (Tf)(x) := \int^1_0 (x-y)^2 f(y)~\mathrm{d}y. $$

Ho provato a utilizzare il seguente argomento: Let $(f_k)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ essere delimitato e lasciare $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ essere una sottosequenza con limite debole $f \in L^2([0, 1])$. Poi:$$ \lVert Tf_{n_k} - Tf \rVert_{L^2([0, 1])}^2 = \int_0^1 \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 ~\mathrm{d}x \leq \sup_{x \in [0, 1]} \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 $$ Posso ancora dimostrarlo $\sup$ è raggiunto su alcuni $x_{n_k} \in [0, 1]$ ma questo non mi aiuta a causa della dipendenza da $n_k$. Altrimenti avrei usato una convergenza debole a quel punto.

C'è un modo più semplice o questo è l'operatore anche compatto?

Answer 1

È un operatore di rango finito e quindi compatto: $$(Tf)(x)=A\,x^2-B\,x+C,$$ dove $A=\int^1_0f(y)\,dy, B=2\int^1_0y\,f(y)\,dy, C=\int^1_0y^2\,f(y)\,dy$, quindi l'immagine di un insieme limitato è un sottoinsieme limitato di un sottospazio tridimensionale di $L^2([0, 1])$.

Answer 2

Se $k(x,y)=a(x)b(y)$, dove $a$ e $b$ sono attive le funzioni continue $[0,1]$, poi $$ \int_0^1 k(x,y) f(x)\, dx = \left(\int_0^1 a(x) f(x)\, dx\right) b(y) = \langle a,f\rangle b(y). $$ Quindi l'operatore integrale $T_k$, dato dal kernel integrale $k$, soddisfa $T_k(f) = \langle a,f\rangle b$e, di conseguenza, $T_k$è visto come un operatore di primo livello. Se invece$$ k(x,y)=\sum_{i=1}^na_i(x)b_i(y), \tag{1} $$ dove $a_i$ e $b_i$ sono di nuovo attive le funzioni continue $[0,1]$, l'operatore integrale corrispondente soddisfa $$ T_k(f) = \sum_{i=1}^n \langle a_i,f\rangle b_i, \quad \forall f\in L^2[0,1], $$ quindi il grado di $T_k$ è al massimo $n$, quindi finito.

Se poi lo assumiamo $k$ è un limite uniforme di funzioni $k_n$ della forma (1), non è difficile vederlo $T_{k_n}\to T_k$, nella norma degli operatori, quindi $T_k$ è un operatore compatto poiché è il limite degli operatori di rango finito.

Il teorema di Stone-Weierstrass può essere facilmente invocato per dimostrare che il sottoinsieme di $C([0,1]\times[0,1])$ formato da tutte le funzioni del modulo (1) è denso, quindi la conclusione del paragrafo precedente vale per qualsiasi continuo $k$. Questo dimostra:

Teorema . Qualsiasi operatore integrale attivo$L^2[0,1]$ con un kernel integrale continuo è compatto.